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méthode infiniment ingénieuse qu’il explique dans ce même traitédes fluxions et dont voici une idée.

Ayant formé un rectangle, il fait écrire le long du côté hori-sontal supérieur et par ordre, les termes où ne se trouve que x ,et dans le rang vertical à gauche ceux qui sont affectés de y oude x et y; ensuite, par des opérations qui n’exigent presquequ’une transcription, mais que cependant il serait trop longd’exposer ici, on trouve successivement tous les termes en x,de la série cherchée. Ainsi, dans i’exemple donné ci-dessus, on

trouve d’abord &c.; et enfin y appliquant

l’artifìce de Neuton, on a ^ = --4 -—-h—- t--^r&c.

Neuton, à la vérité, ne démontre pas cette méthode, et ilen donne pour raison que cela ne pourrait se faire synthé-tiquement sans beaucoup de longueurs; il se borne en consé-quence a prouver la justesse de son opération en la vérifiant.Mais on a l’obligation aux savans PP. Le Seur et Jacquier d’enavoir donné une démonstration claire et lumineuse (i) d’aprèsla doctrine des séries et du calcul intégral ; démonstration àlaquelle ils ont joint beaucoup d’éclaircissemens et d’exemples ,et même quelques degrés de perfection.

II est au surplus encore une autre méthode pour parvenir aumême objet : c’est celle des séries indéterminées, méthode queNeuton n’a pas ignorée, mais que par des raisons particulièresil n’a pas voulu, ou il a négligé de dévoiler avant la premièreédition du Commercium epistolicum où elle se trouve en note.Nous allons donc encore exposer ici cette méthode, quoiqueassez connue de tous ceux à qui l’analyse est un peu familière.

Soit, pour en donner un exemple, l’équation différentielledu premier ordre adx -+- bxdx -+- cydx — dy. Pour la réduireen une sérié , donnant la valeur de y en x , on supposey — Ax-t-B x 1 -ì-C x* ■+■ Dar 4 etc. D’où l’on tirera la valeurde dy A dx -{- 2 B xdx -p 3C x* dx -f- 4 H x ì dx etc. On subs-titue ces valeurs de y et de dy , dans l’équation proposeeégalée à zéro, et l’on arrange celle qui en provient, ensorte queles termes homogènes, c’est-à-dire où x est au meme degre,Soient dans une même colonne, comme on volt ici.

Adx - 4 - 2 .Bxdx -t- 3 Cx*dx ■+■ 4Dx 3 dx Scc. 1

— adx — A cxdx — Bcx 2 dx — C cx^dx &c. \ = °.

— bxdx . )

Toute cette expression étant égale à zéro , quelle que soitla valeur de x, les coefficiens dune même colonne seront

(,) Elé,nens du çalciil intégral, tom. XI, p;g. 72 et suiv.