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Leibnitz, à la vérité, se bornoit à annoncer ces vérités, maiselles ont été depuis démontrées de plusieurs manières différentes.II donna bientôt après, en 1680, la sommation d’autres sériesmoins faciles, telles que celles dont les numérateurs étant oul'unité, ou les nombres naturels , ou les triangulaires &c. lesdénominateurs sont des nombres de la progression géométrique,fit les signes alternativement positifs et négatifs. Telles sont celles-o - 1 — rs + 775 —' à. Ou 1 — _p _ 1 - — ou

qui sont respectivement égales à

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’° 8o °&c.

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Ces essais engagerent probablement Jacques Bernoulli à s oc-cuper du même genre de recherches; et à son exemple, sonjeune frère, Jean Bernoulli s’y livra aussi; ils s’excitèrent l’unl’autre en se faisant part de leurs découvertes mutuelles , eten enchérissant pour l’ordinaire l’un sur I’autre.|Jacques Bernoullien publia le résultat en 1689 , en forme de thèses soutenues soussa présidence par un de ses élèves sous ce titre : Positiones arith .de seriebusinfinitis , earumque summa Jinita , qui eurent unepremière suite en 1692, et deux autres en 1692 et 1697. Cesdernières ont pour objet l’application des séries aux quadratureset rectifications &c. Dans les deux premières parties de ce traitédes suites infinies et de leur sommation , Jacques Bernoullidonne les sommations d’un grand nombre de nouvelles sériesdécroissantes , comme celles où les dénominateurs étant lesnombres en progression géométrique, les numérateurs seroientles nombres croissans artithmétiquement, ou les triangulaires,pyramidaux < 5 çc. Telles sont celle-ci : x "t - ~TTë ~ t— 3V

qui est égale à 2, Et la suivante : -5- —f— —t— —í— —{— yd &c.

qui égale 4> on celle-ci : ï + {+ y+ &c. 8 <Scc. II trouve

aussi que la suite dont les numérateurs sontl’unité et les dénomi-nateurs les nombres triangulaires, comme &c.

x=z 2 , ou plus généralement - e -1- ~ -t- j- c -t- &c. — ^ II trouve

de même que celle dont les dénominateurs sont les nombrespyramidaux 1, 4 » 10, 20 &c. = 1 - &c. On y trouve enfin ladémonstration de ce qu’avoit avance Leibnitz sur les sénés dontil avoit donné les sommes.

II se présente ici deux questions incidentes. On a donné lessommes des séries ayant 1 unité pour numérateur constant, etdes nombres en prog. géom. croissante pour dénominateurs.Mais quelle est la somme de celle ou ces dénominateurs sont enprog. arithmétique, comme celle-ci &c.

qui est une progr. harmonique décroissante. Tout le inonde saitaujourd’hui qu elle est infinie ou plus grande qn'aucun nombrefini. Mais la première remarque de cette vérité est attribuée par«Jacques Bernoulli à son frère dont il rapporte la démonstration

qui