DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 2,9semblables. Ainsi l’on a C f zfc B -4- Ah=z o. D f — Cg-¥- B/z=o.ou C = B o- — A/i',T) — Cg —B h , &c. ; c’est-à-dire que C estdéterminé par B et A les termes précédens, comme D parlesdeux qui le précèdent dans le même ordre, et ainsi de suite. Lasérie est donc récurrente et son échelle de relation est gx — hx 1ou plus simplement g — h , en supposant x = 1.

Ainsi, pour en donner un exemple, supposons la fraction.

proposée être j—L - * -2X

h~.

nous aurons a-

:i, b=zz f f= i,g= 3 ,

- J* + îx’ *

2 ; ce qui donne 1 pour le premier terme, 5 pour le second ,qui sera conséquemment 5 x ; l’échelle de relation sera enfinòx — 'ix % ou 3 — 2. La série sera donc 1 -4- 5 x -t- i 3 x- -4- 292^-4- 612: 4 Scc., où x étant supposée égale à l’unité, 1 + í+ i 3-4- 29-4-61 &c. où chaque terme est le double du précédent ,moins deux fois celui qui précède ce dernier.

Pour peu qu’on ait conçu la démonstration précédente, il estaisé de voir que si le dénominateur eût eu quatre termes, la loide l’échelle de relation ne se fût manifestée qu’au quatrièmeterme de la série, et cette échelle eût eue trois termes ; et ainsides cas plus composés.

Etant donnés le numérateur et le dénominateur d’une fractionrationnelle, proprement dite, on pourra donc toujours trouverdans la série qui résultera de son développement, l'échelle derelation de ses termes , et vice versâ, étant donnée l’échelle derelation d’une série récurrente, on pourra revenir à la fraction

_ _ que

du second terme du dénominateur, divisé par le premier termeet prts avec un signe contraire ; le second terme de la mêmeechelle est de même le coefficient du troisième terme du déno-minateur, divisé par le premier. Le diviseur commun de cesdeux termes, ou un de leurs diviseurs communs sera donc lepremier terme ou le terme constant du dénominateur.

Quant au numérateur on le trouvera facilement, au moyen dela méthode des indéterminées : car le supposant z/z, ou m -4- nx tou //z-4- nx -4- px 1 , selon ce qu indiquera l’échelle de relation,on développera en série la fraction formée de ce numérateur etdu dénominateur connu. Comme donc elle devra être égale àla série récurrente donnée, la comparaison des seuls premierstermes de l’une et de l’autre donnera les valeurs de m, n, ou

m . n . n . &C.

Ur

des principaux problèmes de cette théorie est, commeâ a dit au commencement, celui de déterminer l’expressionu erm.e général; car de Texpression de ce terme dépend le

E e 2