DES MATHEMATIQUES. Part. V. Lxv. I. 221que la valeur de cette série prolongée à l’iníini n’est autre choseque cette fraction elle-même. On aura donc toujours la somma-tion d une série récurrente , lorsqu’on pourra remonter à lafraction dont le développement l’a engendrée; et cela se pourratoujours quand on connoîtra l’échelle de relation, puisque deses termes dépendent les coefíiciens des termes du dénomi-nateur. Quant au numérateur nous avons déjà indiqué la manièredont on peut l’obtenir. Ainsi pour en donner quelqu’exemple,la série 1 -î- ’òx •+■ -+- -jx 3 + 113; 4 &c. étant donnée avec son

échelle de relation qui est 1 1 , on aura le dénominateur

1- x — xx. Le numérateur se trouvant par le procédé indiqué

ci-dessus 1 + 207 , la fraction d’où provient cette série sera- ^'J . *

qui peut être regardée comme la somme de la série 1 +do? + 4^7*+ 70:* &c. quoique divergente dans le cas où x est l’unité ouplus grande que l’unité, en prennant ce mot somme dans laseconde acception de la note ci - dessous ; mais si x étoitune fraction de l’unité, par exemple 7 , la série deviendroit1 *+- 7 •+• 1 —V— -t - —V— —t— 773 &c. dont la somme est

8, même dans la première acception de la note qu’on vient deciter; car c’est ce que devient la fraction ci dessus lorsqu’on yfait x = +

Mais on peut ne demander que la somme d’un certain nombrede termes, par exemple des trente premiers. Comment s’yprendra-t-on dans ce cas , le voici : il faudra alors de la sommetotale de la série retrancher celle de cette même série à com-mencer du trente-unième terme, qui sera alors exprimé parPm 30 , P étant son coefficient numérique qu’on trouvera en cher-chant le terme général de la série. Or le restant de la série étantlui-même une série récurrente soumise à la même loi et pro-venante dune fraction ayant le même dénominateur, ontrouvera parle procédé ci-dessus indiqué le numérateur de cettefraction ; et de la fraction totale, ôtant cette dernière, le restantexprimera la somme des trente premiers termes, soit que la sériesoit convergente ou divergente. Ainsi dans la série prise ci-dessus pour exemple on trouvera P — 974281, et le coefficient

(1) On peut prendre dans deux sensdifférens cette expression , la sommed’une série prolongée à l’infini. Sousune de ces acceptions, c’est la quantitéVe rs laquelle la somme des termes decette série approche, d’autant plus qu’onen Prend, un plus grand nombre. II fautconvenir q ue c’est-là l’acteption la pluscommune, àious l’autre, c’est uniquement

la quantité fractionnaire dont le déve-loppement a produit cette série, mêmelorsqu’elle est divergente , et que consé-quemment elle est nécessairement infinie.C’est dans ce sens que i’entend EuJer,lorsqu’il trouve que la somme de lasérie suivante , qu’il nomme hyper-géométrique, i-f-a-f- 6 -f- 2 4 + Jio&c,à 1’infini est 0.4036524077.