DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. I. 225première des deux ci-dessus, la somme de tant de termesqu’on voudra , à commencer du premier , et en nommant

Z successivement i, 2 , 3 , 4 > $ > âc.. sera A 2 -+- z -H \

X z + j C z. z . — -t-.-j Uz.z — 1. z — 2. Ainsi lorsque

z sera un nombre entier, comme on le suppose ici , la 'sériése terminera et donnera la somme de tous les termes depuis lecommencement de la suite jusqu’à celui qui la fait rompre.Cette formule sert à trouver la somme de tant de termes qu’onvoudra des puissances de nombres naturels.

Dans le second cas, et c’est ici le principal, parce qu’il sertà trouver les sommes des suites composées d une infinité determes décroissans, M. Stirling fait voir que la somme cherchée

est - q—?=-l-écc.Nous nous attacherons à développer

l im+i JM-H-Í + 2

cette expression et ses usages ; il sufíit ici que z soit unnombre soit entier, soit rompu, et croissant successivement del’unité.

Pour donner un exemple de ceci, supposons la série infinietztï ■+■ n'.r » ■+* 7 1 ~ ó ~ . ~ s dcc, 1 expression génératrice se trouve avec

quelqu’attention- } - r -en faisant z successivement12. t &c.

Et en comparant cette valeur à la formule générale de la série

—h- 7— — &c., on trouve A=o. B = -V et tous les autres

termes = o. Ainsi dans la formule de somme on n’a que le terme,

— B , qui devient—h— où écrivant au lieu de z sa première

‘H+i 1 5 î+i r

valeur j on la trouve — à- Ea somme de toute la série ci dessusest donc ~ • mais si l’on vouloit avoir la somme à compterseulement du troisième terme, il faudroit dans la formule ci-dessus au lieu de z écrire ce qu’il devient à ce troisième terme,savoir 2 1 ou j et l’on auroit pour la somme de la série àcompter du troisième terme, ce terme y compris; et en effet

Ï4 ' 2 8 . 2 go 420* # . , _ , •

On voit par-là que toutes les rois que 1 équation qui déterminechaque terme par le précédent étant réduite à l une des deuxformules de M. Stirling est finie, la formule de sommationdevient aussi finie, ainsi que la somme de la série, et au con-traire quelleque soit la valeur de z entière ou fractionnaire; maislorsque la suite n'est pas susceptible de sommation en termesfinis, l’équation qui donne un terme par son précédent est elle-m êtne une suite infinie, et la formule de somme qui en résulteen est aussi une. Cette dernière a cependant d’ordinaire unavantage que n’a pas la première, c’est qu’elle est beaucoup plusTome III, F f