DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I.

La loi de la progression est assez manifeste pour ne pas exigerplus de développement ; si donc de cette série on retranchele premier terme Y, le surplus exprimera l'accroissement simul-talné de Y. 11 faut observer que si a x étoit négatif, c’est-à-dire que x alloit en décroissant , les termes de la série ci-dessusdevroient être pris alternativement positifs et négatifs.

11 n’y aura donc pour trouver cet accroissement qu’à diffé-rentier successivement la fonction Y. Selon la variable x , etdiviser par dx } ce qui effacera les dx, dx % , &c. ; et commeà moins que la fonction proposée ne soit une fonction trans-cendante ; cette différentiation-oi terminera la série en question ,se terminera elle-même, et l’on aura en termes l’accroissementde Y, exprimé en x et Ax, Ax-, Scc.

Soit, par exemple, la fonction Y — «m -î- -j- m', on aura

d Y — adx 2 -+- ix dx -H \Sx 1 dx ; d d Y — ndx* -+- 6xdx z ;n^Y — 6à' ; d A Y = o. Ces valeurs étant substituées dans les

termes de la série, on aura l’incrément de Y =.ax. a-h zx-h âx*

-t- ax-. ì -+- 5x -t- Art

M. Taylor s’étant presque borné à indiquer la source de sonthéorème , divers géomètres se sont attachés à en donner ladémonstration. Maclaurin en donne une , qui est dérivée de laconsidération des fluxions ; cette démonstration est rigoureu-sement suffisante ; mais il étoit plus élégant, et à certains égardsplus satisfaisant pour l’esprit, de n’y employer que des consi-dérations purement analytiques; c’est ce qu’a fait avec le plusheureux succès le C. L’huiiier, de Genève, dans son ouvrageintitulé ; Principiorunt calculi diff. et integr. expositlo ele~mentaris , &c. (Tubingœ, iyp6 , in- 4°. ), ouvrage dont nousaurons encore à faire une plus ample mention; il y fait d’abordvoir la vérité du théorème dans le cas où Y est une simplepuissance de x ; et comme toute fonction n'est qu'un aggrégéde puissances multipliées, ou non, par des quantités constantes,il en tire une démonstration complette. Le C. L’huilier nousfait aussi connoître , et développe une démonstration de M. Pfiei-derer, savant professeur de mathématiques à Tubinge , qui faithonneur à la sagacité de son auteur. Enfin, dans une autrçpartie de son ouvrage , il étend le théorème de Taylor , auxfonctions même composées de plusieurs variables. Nous noustrouvons à regret obligés de nous borner à cette indication.

Cette série a aussi son utilité dans le calcul des fluxions oudifférentiel; Car si Y représente une ordonnée de courbe, etx 1 abscisse correspondante , dx l'accroisse ment ou le décrois-sement.d,e cette abscisse, on aura la valeur de l’ordonnée suivanteY ' = Y =*= ïS -H E ± .gfL. &c .. çe qui fait voir en quelle

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