* 7 8 HISTOIRE

Les théorèmes fondamentaux que nous avons exposés ci-dessus ont été pour M. Euler la source d’une multitude d’autresErès-intéressans et si utiles, qu’on peut dire qu’ils sont aujour-d’hui comme élémentaires dans toutes les recherches où entrentdes calculs d’angles ; la trigonométrie sphérique en a même ,pour ainsi dire , reçu une forme nouvelle et une grande ex-tension ; mais le développement de ces divers théorèmes seroitpeut-être trop aride ici : c’est pourquoi nous nous borneronsà les présenter dans une note qu’on trouvera à la suite de celivre.

La résolution des problèmes de l’astronomie physique pré-sente souvent des puissances de sinus ou de co-sinus. 11 a fallu,pour se conformer à la forme des tables astronomiques , lesréduire en sinus et co-sinus d’arcs simples , ou doubles , &c.Qu’on ait, par exemple , la quantité cherchée exprimée parAsin.^-t- Bsin.jy 3 (où l’on doit remarquer que sin. y m nesignifie pas le sinus de y m , mais la puissance m du sinus de y $A et B sont des arcs ou des angles donnés, exprimés en minuteset secondes ) , il falloit la réduire à de simples sinus et co-sinus , pour la trouver dans les tables ; on le fera par le moyendes théorèmes suivans , que l’on doit aussi à M. Euler :

Sin. y 1 z=z

i — co s. iy2

Sin. jy 3 =Sin. y 4 =Sin. j 5 =Sin. y è —

z Sin. y — sin. y

4

} — 4 cos. îv -t- cos. 4-y

" 8 *

IO sin. y — i<; sin. 87 4- sin.

1 6 *

10 — 15 cos. ìy 4- fi cos. 4 y — cos. Sy

;r

d’où l’on peut facilement tirer l’expression générale de sin. ^y",que nous omettons néanmoins ici pour abréger ; ainsi l’onauroit la quantité proposée ci-dessus, A sin. y* ■+■ B sin. ^y 3

= è — A cos - v _j_ sin - > w. Or ayant l’angle y , on

trouveroit dans les tables les sin. y , cos. ay, sin. 3y, en déci-males ; et faisant les calculs indiqués par la formule , ON auroitla valeur totale de l’expression ci-dessus.

On a de même :

Cos. y'

Cos. y 1

Cos. y*&c.

1 4- cos. ry

; .

cos. y 4- cos. \y

4

J 4 - 4 COS. Xy 4 . cos. *y8 “ »