DES MATHÉMATIQUES. Paut. V. Lit. I. 299troisième, ou la première avec la troisième , et la troisièmeavec la seconde.

11 y a plus. j suivant M. Le^out, cette méthode d’éliminationsuccessive donne communément des équations beaucoup plusélevées qu’elles ne devroient être pou,r renfermer uniquementles valeurs utiles à la question. Si l’on avoit, par exemple ,quatre équations du second degré et quatre inconnues , l’élirmination successive donneroit^ une équation >dn -deux cent cin-quante sixième degré.. tandis qq iì d-Ómontre qu’elfe np devrontpas excéder le seizième,; ef : sï■ ces* quatçe équations éfoientMytroisième degré , l’équation finale ‘monteroijt.^u-. six mille cinqcent soixante unième degré,, tandis . quVU®r njéi dpit monter atiplus qu’au quatre-vingt-unième. Car M,. Besorut démontre ailleursque si l’on a le nombre « d’équatiorrs , chacune du degrél’équation finale me doit pas excéder : .le--degré nt ; d’où l’ondoit conclure que l’équation. finale -trouvée par l’élimination.successive n’est point la véritable, yiais la renferme feulementcompliquée de facteurs inutiles à la question, et le, p}«$, souventimpossibles à reconnoître. Cette méthode , qqi est d'ái-fleurs l;or.praticable dans le cas de degrés supérieurs, est, dope, vicieuse,.et il étoit nécessaire d’en chercher une qui aille plus ; direc-tement au but , et ne donne que les racines utiles à laquestion.

Cette considération engagea M. Besout à réfléchir ; sur lescauses de cette élévation, successive et superflue des équationsque l’on trouve et qui produisent enfin f équation finale* II luiparut que cela venoit de ce . que: dans l’éliinination sqqcessi.veopérée par la combinaison des équations proposées , il règneune indétermination à éviter ; ce qui le conduisit à penserque , pour remédier à ces incon,véniens , il falloit traiter à-lq-.fpis toutes ces équations par une même opération. .C’^st un; résultat' dont il étoit déjà. en possession en 1764* où ildonná,,cdmmp on l’a vu plus haut., dans les Mémoires de i’académia,

'l’essai d’une mqtho.de qui, quoique non encore parfaite, Test.néanmoins assez pour réduire considérablement Téquation fi-nale ; mais c’est dans le livre cité plus haut qu’il faut chercherle résultat final de ses recherches; sur .ce sujet. 11 y développeune méthode générais dont npys, Rêvons donner une. idée ,quoique attendu, l'abstraction à la matière il ' ne nous soit paspossible d’entrer dans détails. , > .-cv : - , 'i .0 i-

L’esprit de cette méthode consiste à multiplier chacune deséquations données par uiy pofymHme ou fonction particulièredes inconnues , qui soit de telle forme que , en ajoutant tousles produits L on. puissepfaire jévanoyir toutes les inconnues ,hors yne , en égalant à zéro Iç.uis coéffìcieps. On conçoit yn.

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