338 HISTOIRE

ici de courbes immobiles décrites selon une certaine loi, etqui doivent être coupées par une autre à angles droits ou obliques ;mais de deux courbes ou de la même courbe renversée qui étantl’une ou ì’autre, ou toutes deux ensemble, mues parallèlementà elles-mêmes , doivent se couper sans cesse à angles droits.On a un exemple du premier cas dans une infinité de paraboleségales sur un même axe qui seroient coupées par une loga-rithmique , car soit que l’on fasse mouvoir la logarithmique pa-rallèlement à elle-même, ou la parabole , où toutes deux à-la-fois , elles se couperont toujours sous le même angle. Mais on.peut proposer une autre question comme le fit Nicolas Bernoullien 1720, à la fin de son grand et beau mémoire sur les trajec-toires orthogonales. (1) Deux axes parallèles A B 5 C D {Jig- 68 )étant donnés , décrire sur A B une courbe £ F , laquelle étantrenversée et son axe posé sur C D , elle soit teLle que l’uneou l’autre oh toutes deux se mouvant parallèlement à l’axe,elles se coupent toujours à angles droits j ou même sous unangle quelconque.

En Angleterre où l’on ne paroît pas avoir pris un intérêt bienvif au problème des trajectoires orthogonales , on en prit davan-tage à celui-ci.Un anonyme , qu’on croit être Pemberton , envoyaen février 1721 une réponse très-concise et très-juste. Il enrésultoit qu’il y a une infinité de courbes qui ont cette pro-priété , et qui peuvent être , suivant les circonstances, algébriquesou transcendantes, et dans ce dernier cas il en montre la cons-truction par les quadratures. On voit parmi ces derniers reparoîtrela cycloïde et la logarithmique. En effet, la cycloïde satisfaitau cas de sangle droit, et la logarithmique décrite d’une cer-taine manière au cas de sangle oblique. On lit dans les œuvresde Bernoulli, t. II, un assez, grand nombre de pièces savantessur ce sujet, et une sorte de commerce épistolaire entre l’ano-nyme anglois et Jean Bernoulli. Ce dernier a envisagé encorele problème sous un grand nombre de faces, et nous présenteroitmatière à un grand article si nous faisions seulement l’histoirede la géométrie. Nous nous bornerons à indiquer ici un mémoired’Euler sur les trajectoires réciproques qui semble etre le der-nier degré de cette théorie.

Nous parlerons en finissant d’une espèce de trajectoire parti-culière. Si l’on fait tourner une courbe, une parabole, par exemple,autour de son sommet, ou d’un point de son axe , quelle serala courbe que dans ce mouvement, elle coupera toujours à anglesdroits , ou sous un angle donné ; c’est ainsi par exemple , quela ligne droite tournant autour .d’un. point, a pour trajectoire

(j) Act. Lips, mail 1720. Joh. Bernoulliopp, t, II, p. 471.