3^0 HISTOIRE

Ainsi même le quart d’ellipse est divisible en deux pflrh'es doîltla différence soit une ligne droite. Ces deux arcs terminés l’unet l’autre aux deux axes, peuvent même avoir une partie com-mune, et leur différence peut être une quantité assignable;mais comme ils ne sont pas semblables, il n en résulte rien pourla rectification d’un arc d’ellipse, le problème échappe encore àl’analyse.

La méthode par laquelle Fagnano démontre ces résultats curieuxest fort ingénieuse; c’est une espèce d’algèbre synthétique; caril ne propose jamais la cliose comme un problème , mais enforme de théorème algébrique, dont ensuite, par forme de corol-laires, il déduit les conséquences géométriques.

Ce problème ou plutôt cette spéculation géométrique reparutsous une nouvelle forme, en 17 54 , dans les actes de Leipsick,où un anonyme proposa par forme de recherche, la démons-tration d’un théorème , que voici, soyent ( fig. 69. )AB,ED,les deux axes d’une ellipse j ab, ed , deux diamètres conju-gués quelconques ; que C F soit faite égale à C A, et de Fabaissée sur A B, la perpendiculaire F G coupant L’ellipseen K; enfin de b soit abaissée sur Cd, la perpendiculaire b L,on aura U arc a d K — IC C b = 2 B L.

Tel étoit le théorème élégant dont on démandoit la démons-tration. Elle a été donnée par Bezout et le cit. Bossut dans letroisième volume des mémoires présentés àl’académie, au moyende recherches très-adroites sur des quantités différentielles quin’étant point intégrables par elles-mêmes, le deviennent au moyende l’addition d’une autre de même forme. Le premier de cesgéomètres en fait aussi une application àl hyperbole, où il trouvedes arcs dont la différence est rectifiable, en quoi néanmoinsil reconnoit avoir ete prévenu par Fagnano, mais leurs méthodessont si différentes que le géomètre françois y seroit sûrementparvenu quand même l’ítalien n’auroit pas donné la sienne.

- On ne peut ometre ici un écrit du célèbre Euler sur ce sujet,inséré parmi les nouveaux Mémoires de Pétersbourg, (t. VI).Car quoi qu’Euler dise n’avoir pas du tout entendu ajouter auxdécouvertes de Fagnano en ce genre , cet écrit présente toutecette matière traitée avec tant d’élégance qu on ne peut mieuxfaire que d’y recourir pour en prendre connoissance , l’ouvragede Fagnano étant d’ailleurs assez rare. Nous ne pouvons mêmerésister à la tentation de faire connoître la construction éléganted un de ces problemes , celui de diviser un quart d’ellipse endeux parties dont la différence soit égale à une ligne droite.Soit pour cet effet (fg- 70 ). Le quart d’ellipse CAB sur legrand axe de laquelle soit décrit le triangle équilatéral  I) C.Sur A O soit pffse AE = CB et ayant tiré C E qu’on décxive