DES MATHÉMATIQUES. Pa*t. V. Lxv. I. 3 4 ' 7

différentions-la avec les attentions convenables, nous trou-verons successivement ( parce que y est supposé constante )

dz -t- dx F (y ) , parce que les fonctions f {y) et F (y) ne

contenant pas x, demeurent constantes dans les différentiationsrelatives à cette variable ; et divisant par dx, on aura â —

dx

•ÏIl -t_ F ( -y ) ; et en différentiant de nouveau , on trouvera à

■=.yxdx. On aura donc enfin, en divisant par dx , ^— xyd= o.

On voit par-là que l'équation étant du second ordre, pourrendre l’intégrale complète , il faut y ajouter deux fonctionsarbitraires différentes de la variable, dont la différentielle n’entrepas dans l’équation donnée.

Si l’équation étoit du troisième ordre, comme xy =^4, onemployeroit pour l’intégrer de semblables substitutions succes-sives. Ainsi, en supposant d’abord — u , ce qui donne ^— ^ ; et substituant ^ à la place de ^ , on auroitxy=z^,et du—yxdx'y et en intégrant, u - y ~- -t- F (y ) ,c’est-à-dire, •+- F ( y ) , ce qui réduit l’équation au

Second ordre ; et on la réduira par le même procédé que ci-dessus à celle - ci : x F (y) -+-f {y ) , et enfin à

z= y ~ -t- x 1 F (y) -f- xf(y) -+■ <f> (y), ce qui se vérifiera facile-ment par la différentiation , comme on a fait dans l’exempleci-dessus.

Si l’on avoit xy = , il faudroit supposer ^ = u , et

par un procédé semblable aux précédens, on aura « ou |== îfl 4 - F (y ) , et conséquemment dz — y -^~- -h dyF (y ) ,et en intégrant de nouveau z = — -h Sdy F (y ) -+-/( x ) ;d’où résultera enfin (parce que SdyV-(y) n’est autre chose,tpi’une fonction de^) ^ {j ) +/"( x ) •

Enfin si s étoit une fonction de trois variables comme x,y, u Ket qu’on eut une équation comme x-yu—° ^ intégrer,on trouveroit par des substitutions semblables z == " + *

% (y i -i~J r (x í y ) -P (x t u) , où l'on yoit que dans ce cas

X x a