QUADRATURE DU CERCLE. 64 1de ces séries , les termes diminuent assez rapidement pourapprocher de fort près de leurs vraies valeurs 5 car dans lase Ç on de , en en prenant seulement sept termes , Terreur estdejà au-dessous d une 186 000 000 e .

Euler fait même voir qu’il est encore possible d’approcherplus rapidement du but ; car il observe qu’on peut diviser Tare,dont la tangente est ^ en deux, dont les tangentes sont jet j,ce qui donne Tare de 4 $° égal à 2 fois la seconde des séries

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89o3 S*

ci-dessus , plus celle-ci --, & c . ou -

7 ?- 7 * bT

Nous observerons enfin qu’on peut diviser Tare dont la tan-gente est y en deux , dont les tangentes sont ~ et •£-, ce qui fournitun moyen d'avoir deux suites encore plus convergentes que cellequi donne Tare répondant à la tangente j. 11 seroit plus facilede calculer par ces 3 ou 4 suites la circonférence du cercle jus-qu'à 200 décimales, qu’il ne le fut à Viete ou à Roman us de lacalculer par leurs procédés jusqu’à 10 ou i 5 décimales. Nouspassons sous silence les autres artifices de calculs présentés parEuler dans le même mémoire et dans un autre , tome XI , pour*7% , par lesquelles il ne íaudroit que 80 heures de travail pourtrouver les 128 chiffres de Lagny. II y en a aussi dans Stirling ,de Summatione serierum , dans Simpson , The doctrine offluxions , l'jSo (1). Kraft, dans le i 3 e volume de Pétersbourgpour 1741 , page 121, a donné des constructions mécaniquestrès-simples et très-approchées.

Tons ces moyens qui se confirment incontestablement les unsles autres, ne laissent aucun doute sur Texpression numéri-que du rapport approché du diamètre du cercle à sa circon-férence ; ce rapport est la vraie pierre de touche pour éprouverles prétendues quadratures du cercle , sans entrer dans le dé-dale des raisonnemens pitoyables et souvent inintelligibles deceux qui se donnent pour les heureux œdipes de cette énigme.On ne peut même mieux faire que de les livrer à leur agréableillusion. Car Texpérience a appris qu’on chercheroit en vain àles en tirer ; c’est ce qui a engagé T Académie des Sciences àannoncer qu'elle n’examineroit plus de quadratures du cercle,non plus que de trisections de l’angle ou de duplications ducnbe et de mouvemens perpétuels. Histoire de VAcadémie ,1775 , p. 64. Voici la manière dont s’exprime le secrétaire del’Académie , qui étoit lui-rnême un très-grand géomètre ( Con-dorcet ).

« On peut considérer cette solution sous deux points de vue.

(j) Il donne à la page 4o3 une série dont 8 termes donnent plus d’exac-titude que cent mille de la série ordinaire.

2 'orne 1T.

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