80 Logaritmo
gna dapprima ridurre il tulio in frazioni,quindi sottrarre il logaritmo del denomina-tore da quello del nuovo numeratore ;così per overo il logaritmo di 8 —■ cer-casi quello di Jì, il quale si trova sot-traendo i,o4i3q3, logaritmo di 11, da1,959041, logaritmo di 91 ; il resto0,917648 è il logaritmo di 8 poi-ché 8 e ^ oppure jy non ò altro che91 diviso per 11.
La stessa ragione prova che per avereil logaritmo di una frazione conviene sot-trarre parimente il logaritmo del denomi-natore da quello del numeratore ; ma sic-come questa sottrazione non si può fare,imperciocché il logaritmo del denominatoresarà più grande di quello del numeratore,così si sottrerà invece il secondo dal pri-mo ; il resto indicherà quanto manca per-chè possa farsi la sottrazione, e sarà il loga-ritmo della frazione, applicandovi un segno,il quale indichi che la sottrazione si è fattaall’opposto. Questo segno è — che, comesi è veduto all’ articolo Algebra , significameno. Quindi il logaritmo della frazionej-j- sarebbe — 0,917648- Quel segnoè destinato a ricordare nel calcolo che ilogaritmi delle frazioni si devono impiega-re dietro una regola del tutto opposta aquella che si è prescritta pei logaritmi deinumeri interi, oppure dei numeri inte-ri uniti alle frazioni ; vale a dire, chequando abbiasi a moltiplicare per una fra-zione, conviene sottrarre il logaritmo diquesta frazione ; e che se all’ oppostodeesi dividere per una frazione, bisognasommare il suo logaritmo con quello deldividendo.
La ragione si è che moltiplicare peruna frazione viene ad essere lo stesso chemoltiplicare pel numeratore, poi dividerepel denominatore ; allorché adunque siopera coi logaritmi, deesi aggiugnere il.logaritmo del numeratore, poi sottralequello del denominatore, oppure, che fa
10 6lesso, sottrarre 1’ eccesso del logaritmodel denominatore dal logaritmo del nu-meratore. Questo eccesso è precisamente
11 logaritmo della frazione.
Altrettanto facile è comprendere la ra-gione della divisione : invero dividere pera cagione d’esempio, è lo stesso chemoltiplicare per - ; operando adunquecoi logaritmi conviene sommare il loga-ritmo di cioè la differenza dal Ioga-rito di 4 , al logaritmo di 3 , o dal loga-ritmo del denominatore della frazioneproposta al logaritmo del suo numeratore.
Può avvenire, c spesso ancora succede,che convertendo in una sola frazione l’in-tero e la frazione di cui cercasi il loga-ritmo, il numeratore sia tale da oltrepas-sare i limiti delle tavole ; se, per esempio,chiedesi il logaritmo di 53 questonumero ridotto in frazione diviene a} °” il cui numeratore passa i limiti del-le tavole anche più estese. E utile sa-pere come si possa trovare il logaritmodi un numero che passi questi limiti. Ilmetodo che daremo non è rigoroso ; maè più che bastante pegli usi comuni. Pri-ma di esporlo osserveremo :
i.° Che aggiugnendo 1, 2, 3 , ecc. unitàalla caratteristica di un numero, si molti-plica questo numero per 10, 100, 1000,ecc. poiché è come sommare il logaritmodi 10, di 100, di 1000, ecc. ;
2. 0 AH’ opposto se si sottrano 1, 2, 5 ,ecc. unità dalla caratteristica di un loga-ritmo è come dividere il numero corri-spondente per io, 100, 1000, ecc.
Ciò posto abbiasi, per esempio, a tro-vare il logaritmo di 357859. Si separanocon una virgola sulla destra di questo nu-mero tante cifre quante occorre, perchè ilrestosi possa trovar nelle tavole. Nel nostrocaso, per esempio, nc separeremo due, colche avremo 3578,59, che è 100 volte piùpiccolo del numero proposto 357859.Cercasi nelle tavole il logaritmo di 35 j 8