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tirer la racine exacte en nombres rationels,entiers, ou rompus ; dans ces cas il fautavoir recours aux méthodes à’approxima-tion , Sc se contenter d’une valeur qui nedifféré que cPune très-petite quantité de lavaleur exacte de la racine cherchée. Il enest de même de la racine cubique d’un nom-bre qui n’est pas un cube parfait, Sc ainsides autres puissances, comme on peut voirdans les Transacl. philos. n°. 215.

La méthode la plus (impie Sc la plus faciled’approcher de la racine d’un nombre, estcelle-ci : je suppose, par exemple, qu’onveuille tirer la racine quarrée de 2 ; au lieude 2 , j’écris la fraction , qui lui estégale, ayant foin que le dénominateur1 cooo soit un nombre quarté , c'est-à-dire,renferme un nombre pair de zéros ; ensuiteje tire la racine quarrée du numérateur20000 ; cette racine, que je peux avoir àune unité près, érant divisée par ioo , quiest la racine du dénominateur, j’aurai, à~ près, la racine de 'E, c’est-à-dire ,de 2.

Si 011 vouloir avoir la racine plus appro-chée , il faudroit écrire *• — £. ” & on au-

3 lOOOOOO 3

roit la racine à près, de mêmepour avoir la racine cubique de a , il faudroitecrire ", 0CI0000 , 1000000 etant un nombrecubique, & on auroit la racine à ^près , Sc ainsi àl’infini.

Soit a a -f b un nombre quelconque quine soir pas un quarté parfait , Sc a 3 -f- bun nombre quelconque qui ne soit pas uncube parfait. Soit a a le plus grand quartéparfait, contenu dans le premier de cesnombres. Soit a J le plus grand cube parfaitcontenu dans le second de ces nombres, 011a U ra ]/ {aa + Lc V (a'-frs)

■— H —-—- &c. Voyei Binôme. A laide de

ces équations, on aura facilement des ex-pressions fort approchées des racines quar-rées Sc cubiques que l’on cherchera.

Soit proposé d“avoir la racine d’une équationpar Approximation , i°. d’une équationdu second degré. Soit Inéquation donnéedu second degré, dont il faut avoir la racinepar approximation , «*— j x— 3 >—o , onsuppose que l’on sache déja que la racine està*peu-près 8 ; ce que l’on peut trouver aise-,

A P P

ment par différentes méthodes, dont plu-sieurs font exposées dans le Vl livre def analyse démontrée du P. Reyneau.

Soit 8-f - y la racine de l’équation propo-sée ; en sorte que y soit une fraction égale àla quantité , dont 8 est plus grand ou pluspetit que la racine cherchée , on aura donctr'—64 -fr Kiy+y*

~S *=—40—jy—’ 3 1 =— 3 1 -

— 7 + 11 y + /—o.

Or comme une fraction devient d’autantplus petite , que la puissance à laquelle ellese trouve élevée est grande , ÔC que nous nenous proposons que d’avoir une valeurapprochée de la racine de l’équation , nousnégligerons le terme y 1 ; Sc la derniereéquation se réduira à

— 7 -fr ny=o

) —V- —^'î?eu- près—0. 6.Donc x = 8 -f- o. 6—8. 6.

Soit encore x= 8. 6 "fr y, on aura

— y =—tes —5 y

~}i

-31.

7 ï 9 f_

— "10—3 1 + y —5 y —°-

Réduisant les fractions au même déno-minateur , on aura l’équation suivante :

73. 96 4300—3100-f (1720—,joo)y=o.

—o. 04 -f* 12207 = 0.

12, 20 y —o. 04.

7=004: 12. 20—0. 0032.

Donc *=8. 6000-j-o. 0052=8. 6052.Soit encore x = 8. 6032 -fr y , on aura2'— 7401J05024-I-17. 206400007-f-y*

— j x = —43. 01600000— 300000002

— 31=—31. 00000000

—o. 000094976— 12.206400007 = o.

^=0. 000094976 : 12. 206400007—o.000077808.

Donc «=8.6031000000 -j-o. 00000- *y68o8.=8,603177808.