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effet réelle. La difficulté est de sommercerte série ; c’est à quoi l’on n’a pu parve-nir jusqu’à présent. Cependant M. Nicolel’a sommée dans quelques cas particuliers,cju’ilapar conséquent soustraits, pour ainsidire, au cas irréductible. Voyez les Mem.académ. 1738 & fuit’.

Lorsque Tune des trois équations réel-les & inégales est commensurable, alorsl’équation n’est plus dans le cas irréducti-ble , parce que î’un des diviseurs du der-nier terme donne la racine commentura-ble. Voye\ Diviseur. & Racine.

Mais quand l’équation est incommen-surable , il faut, pour trouver l’exprestionréelle de la racine, ou sommer la série sus-dite , ou dégager de quelqu’autre maniérél’exprestìon trouvée, de la forme imagi-naire qui la défigure pour ainsi dire. C’està quoi l’on travaille inutilement depuisdeux cents ans.

Cette racine du cas irréductible , si dif-ficile à trouver par l’algebre, se trouveaisément par la géométrie. Voye\ Cons-truction. Mais quoiqu’on ait fa valeurlinéaire, on n’en est pas plus avancé pourson expression algébrique. Voye\ INCOM-MENSURABLE.

Cet inconvénient du cat irréductiblevient de la méthode qu’on a employéejusqu’ici pour résoudre les équations dutroisième degré ; méthode imparfaite, maisla feule qu’on ait pu trouver jusqu’à pré-sent. Voici en quoi consiste l’imperfectionde cette méthode. On suppose .t == y 4- 3 ,y & 3 étant deux quantités indéterminées,ensuite on a tout-à-la-fois x* — 3 y - x— y ì =0, & x 3 + q x+r—o. On com-_ ^3

pare ces équations terme à terme, &cette comparaison terme à terme enfermeune supposition tacite, qui amene la formeirréductible sous laquelle x est exprimée;à la rigueur on a q x -f r = — ; y 3 x —

— 3’ ; voilà la feule conséquence rigou-reuse qu’on puisse tirer dc la comparaisondes deux équations ; mais outre cela onveut encore supposer que la première par-tie de qx -(-r, cest-a-dire q x soit égaleu ~ 3 y \ x » première partie d u secondmembre. Cette (opposition n’est point ab-solue ni rigoureusement nécessaire, on ne

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la fait que pour parvenir plus aisément àtrouver la valeur de y & de 3, qu’on nepourroìt pas trouver fans cela ; d’ailieurscomme y & 3 font l’une & l’autre indéter-minées , on peut supposer — 3 y \ x = q x& — y % — s ~ r. Mais cette suppositionmême fait que les deux quantités y & 3,au lieu d’étre réelles comme elles de-vroient, se trouvent chacune imaginaires.II est vrai qu’en les ajoutant ensemble,leur somme est réelle ; mais l’imaginairequi s’y trouve toujours, & qu’on ne peuten chasser, rend inutile l’expression de xqui s’en tire.

En un mot, l’équation x ~y + 3 nedonne à la rigueur que cette équation q x+ r — — 3 v 3 ? — y 3 — 3 3 ou 0 y +? 3 + r=—3 yyi— 3 JU— y* — 3 3 ;& toutes les fois que l’on voudra de cetteéquation en faire deux autres particulières,on fera une supposition tacite qui pourraentraîner des inconvéniens impossibles àéviter, comme il arrive ici, où y & 3 setrouvent forcément imaginaires.

II faudroit voir si par quelque moyenon ne pourroit pas couper l’équation sus-dite en deux autres, qui donnassent à y ôcà 3 une forme réelle & facile à trouver ;mais cette opération paroît devoir être fortI difficile, si elle n’est pas impossible.

J’ai fait voir dans les Mémoires de Va-cadémie des sciences de Prusse de 1746 ,que l’on pouvoit toujours trouver par latrisection d’un arc de cercle , une quantitéc + e y/ — 1 , égale à la racine cube dea + b y/ — 1 ; & que sic + f 3/ — 1 =:

■y} a + b \/ —x ,ona 4/ a — b y/ — t= c — e y/ —1. Voye\ IMAGINAIRE.D’où il s’enfuit que , dans les cas où un arcde cercle peut être divisé géométrique-ment , c’est-à-dire par la réglé & le com-pas , en trois parties egales, on peut assignerla valeur algébrique de c & de e:.ce quipourroit fournir des vues pour résoudreen quelques occasions des équations dutroisième degré oui tomberoient clans lecas irréductible. Voyez le Mémoire quef ai cité.

Quoi qu’il en soit, la racine étant in-commensurable dans le cas irréductible ,Fexpression réelle de cette racine, quandL11 ij