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on la trouverait, n’empéclieroit pas derecourir aux approximations. Nous avonsdonné à l’article APPROXIMATION laméthode générale pour approcher de laracine d’une équation, & nous y avonsindiqué les auteurs, qui ont donné des mé-thodes particulières d’approximation pourle casirréductible .^oyez aujji CASCADE.

Puisque nous en sommes fur cette ma-tière des équations du troisième degré,nous croyons qu’on ne nous saura pas mau-vais gré de faire ici quelques remarquesnouvelles qui y ont rapport, & dont noslecteurs pourront tirer de futilité.

On fait que toute équation du troisièmedegré a trois racines. II faudroit donc,pour résoudre d’une mamere complétéune équation du troisième degré , trouverune méthode qui fit trouver à la fois lestrois racines, comme on trouve à la foisles deux racines d’une équation du seconddegré. Jusqu a ce qu’on ait trouvé cetteméthode, il y a bien de f apparence quela théorie des équations du troisième degrérestera imparfaite : mais la trouvera-t-on,cette méthode? C’est ce que nous n’ofonsni nier ni prédire.

Examinons présentement de plus prèsh méthode dont on fe sert pour trouverIçs racines d’une équation du troisièmedegré. On a d’abord une équation dusixième degré y r ' , £v. telle qu'on 1 a vueci-dessus, Sc quia pat conséquentíixraci-nes , qu’on peut aisément prouver êtretoutes inégales : on a ensuite une équationdu troisième degré q 3 — — y 3 — /■; &comme y 3 a deux valeurs différentes àcause de f équation y s + r y 3 O-v. = o ,ík que q est élevé au troisième degré, ils’eniuit qu.e cette équation doit donnerausli sixvaieurs distérerpes de q, trois pourchaque valeur de y’ ; or chacune dc-ssix vaicurs de q étant combinée avec cha-cune des lìx valeurs de y , on aura trente-,six valeurs différentes pour q +y ; donc xparoi t avoir trence-stx valeurs différentes.Cependant l’équation étant du troisièmeà-e^ré, x ne doit avoir que trois valeurs :comment accorder tout cela ?

Je réponds d’abord que les trente-fìxvaleurs prétendues de y + q doivent feréduire à dix-huit. En çffet, il nc fcutças

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combiner indifféremment chaque valeurde q avec toutes les valeurs dey, mais feu-lement avec les valeurs de y qui corres-pondent à la valeur qu’on a supposée à y 3 .Par exemple , on a y 2 — — t _+ *\/

C — -?7 + -7-) * d ’ oíl l'on tire q 3 —

— 5 + V ( — ■—_+ ) ; Ie signe + qui

précede le signe radical dans la valeur dey 3 y répond a u, signe — qui précede lesigne radical dans la Valeur de q 3 , & lesigne — au ligne -j- ; ce qui est évident,puisque q 3 — — r — y % : donc pour cha-cune des trois valeurs de y qui répondentau signe -{- placé devant le ligne radical,il y a trois valeurs de q qui répondent ausigne — placé devant le signe radical : cequi lait neuf valeurs dey + q; & en yajoutant les neuf autres valeurs pour le casdu signe — placé avant le signe radical dansfexpression de y 2 , cela fait 18 au lieu de 3 6qu’on auroit çu en combinant indifférem-ment les signes. Mais ce n’est pas tout.

Quoique chacune des valeurs de y Scde q, employées & combinées, comme onvient de le prescrire , paroiíîè donner unevaleur de y + q, il íaut encore rejetercelles dans lelquellesle produit qy n^íèrapas égal à — | ; car c’est une des conditionsde la solution , comme on fa vu plus haut,que — 3 q y — q ,• il est vrai que les dix-huit valeurs dey' & q satisfont à la condi-tion que — 2.7 y 3 q 3 — q\ Mais cette,condition — 27 y 3 q 3 = <7 3 est beaucoupplus étendue que la condition — 3 q y = q ,quoique d’abord elle paroisse la même. Parexemple t u = b ne donne qu’une valeurde u : mais u } — b’ donne trois valeursde u. Pour le prouver, soit u 3 — A 3 =0,Sc divisons par u — b, il viendra u u +b u + b b = o, ce qui donne u — — 1\/ (— rA? ) ; ainsi u 3 == b donne u

— b, u= bx(—i +Elfl)&« =

b X A — ï — ~r^ )• Donc quoique

dans les dix-huit valeurs de y 4 - \ on a * c2.7 y 3 q 3 — — q 2 , il ne íaut prendre que.celles où 3 y q — — q. Ce !a pôle ;

Soient ces queue équations;