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suice ainsi formée sera(* + C n) (n- f-^-4- i)in~^-q) ("~*~q — i * ôc f étant
cieux* indéterminées qiïson déterminera parcette condition, que le n i e terme dc lanouvelle fuite moins le n e de cette même
luire soit égal au « + i e terme de la suitedonnée. D’où Hon tire, en supprimant depart 5c d’autre les facteurs communs( « -t- y + i) . —í— i )(<*-■+- c « ~+“ O
x(/z-
z) — V*’
■Sn) X n — A-
B n + B , 6c par conséquent f — --
«. _ n A + %A + B
& •— teyrci+ir*
Cette formule est beaucoup plus généraleque celle qui fait trouver les nombres figu-rés ; car si au lieu de supposer que la pre-mière suite íoit formée des nombres natu-rels , on suppose qu elle forme une progres-sion arithmétique quelconque , on peut parle moyen de la formule qu on vient de voir,trouver la somme de toutes les autres suitesqui en seront dérivées à l’infini, 6c chaqueterme de ces sottes. En effet le n e terme dela premiere fuite étant AA-B n , le n e ter-me de la seconde suite sera (*H-c/i)/i;leterme de la troisième suite sera ( y 5 c t n )(/z + i ) /;, & ainsi de suite, y 6c t se déter-minant par « 6c e, comme « & c par A 5 cB , Lee. A l’égard de la somme des termesd’une fuite quelconque , il est visible qu’elleest égale au n e terme de la suivante.
M. Jacques Bernouilli dans son traité deferìebus infinìtìs earumque fummâ infinitâ , adonné une méthode très-ingénieuse de trou-ver la somme d'une suite , dont les termesont i pour numérateur ; 5c pour dénomi-nateurs des nombres figurés d'un ordrequelconque , à commencer aux triangulai-res. Voici en deux mots l'esprit de cette
méthode : Si de la fraction — +I -
on retranche-
m 4- I.
a
«4. I 5
on aura
« iw» (- fl — fl n _ a (m 4- Q
n . »4-1 • • . »4-K. n +1.- «+ «•+ l'
D'où il aisé de conclure que la somme d'unesuite , dont les dénominateurs sont , parexemple , les nombres triangulaires , setrouvera aisément en retranchant de la suite&c. cette même suite diminuée
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de son premier terme , & multipliant en-' suite par z , ce qui donnera z. Voyc^ dans1 ouvrage cité le détail de cette méthode. Y oyezau(ft l 1 article Suite ou Série.
On peut regarder comme des nombresfigurés les nombres polygones , quoiqu’onne leur donne pas ordinairement ce nom.Ces nombres ne sont autre chose que la som-me des termes d’une progression arithméti-que ; si la progression est des nombres natu-rels , ce sont les nombres triangulaires ; si laprogression est i, 5,5,7, &c. ce sont lesnombres quartés ; si elle est 1,4,7, 10,&c. ce sont les nombres pentagones. Voicila raison de cette dénomination : Construi-sez un polygone quelconque , 6c mettez unpoint à chaque angle ; ensuite d’un de cesangles tirez des lignes à l’extrémité de cha-que côté , ces lignes seront en nombre égalau nombre des côtés du polygone moinsdeux , ou plutôt au nombre des côtés, encomptant deux des côtés pour deux de ceslignes ; prolongez ces lignes du double, 6c joi-gnez les extrémités par des lignes droites, vousformerez un nouveau polygone, dont cha-que côté étant double de son correspondantparallèle, contiendra un point de plus. Doncsi m est le nombre des côtés de ce polygone,la circonférence de ce polygone aura mpoints de plus que la circonférence du précé-dent -, 6c le polygone entier, c’est-à-dire, l’airde ce polygone contiendra m — z points deplus que le précédent. Voye{ Polygone.
Une simple figure fera voir aisément toutcela, & montrera que pour les nombrespentagones où m = 5, on a m — z = ; ,6c qu’ainsi ces nombres sont la somme de laprogression 1,4,7, &c. dont la différenceest trois.
On pourroit former des sommes , desnombres polygones , qu’on appelleroit nom-bres polygones pyramidaux , ces nombres ex-primeroient le nombre des points d’une py-ramide pentagone quelconque. On trouve-roit ces nombres par les méthodes donnéesdans cet article. Voye\ Polygone, Pyra-midal , Suite ou Série , ùc. (O)
FIGURÉES , (Pierres) Hifi. nat. Mi-néralogie. On donne ce nom dans l’histoirenaturelle aux pierres dans lesquelles on re-marque une conformation singulière, inusi-tée 6c touc-à-fait étrangère au régné minéral ,