F I G

Ces nombres figurés ont cette propriété.Si on éleve a A-b successivement à toutes lespuiflànces en cette forte ,a A- b

aa-i- xabA-bba 1 -H j a 1 b -+- 5 a b*a* 4 - 4 a? b ■+■ 6 a b 1„s

rence du n ■

FIG- 475 ?

i e nombre pyramidal 5 c du

-b’’

■4 ab'A-b'

a' , &c.

les coefficiens 1, z , 3, &c. de la secondecolonne verticale seront les nombres natu-rels ; les coefficiens 1 , ; , 6, de la troisiè-me seront les nombres triangulaires ; ceuxde la quatrième ,1,4, Sec. seront les pyra-midaux , Sc ainsi de fuite.

M. Pascal darts ion ouvrage qui a pourtitre triangle arithmétique , M. de l’Hòpitaldans le liv. X de ses sciions coniques , Scplusieurs autres , ont traité avec beaucoupde détail des propriétés de ces nombres.Voici la maniéré de trouver un nombre figuréd'une fuite quelconque.

i°. i étant le premier terme de la fuitedes nombres naturels, on aura n pour le n eterme de cette fuite. Voye^ Progressionarithmétique. Donc n est le 11 e nombrefiguré du premier ordre.

z°. La somme d’une progression arith-métique est égale à la moitié de la sommedes deux extrêmes, multipliée par le nombredes termes. Or le n e nombre triangulaireest la somme d’une progression arithméti-que , dont 1 est le premier terme, n le der-nier, Sc n le nombre des termes. Donc le n e

ìiombre triangulaire est biéi y t ~ ” ” ”

r r

3 °. Pour trouver le n e nombre pyrami-dal , voici comment il faut s’y prendre. Jevois que le n c nombre du premier ordre estde la forme A n, A étant un coefficient cons-tant égal à l’unité ; que le 11 e nombre dusecond ordre est de la forme An + B nn,A Sc B étant égaux chacun à 1 : j’en con-clus qae le n e nombre pyramidal fera de laforme «s + ínn + c/!*, * , Ç, c , étantdes coefficiens inconnus que je déterminede la maniéré suivante , en raisonnant ainsi ;Si « n -st ? n n + c n* est le n e nombre py-ramidal , le n -H 1 e doit être « ( n - 4 - 1 ){n 4 - j)‘ H- c („■+■ 1 )\ Orladiffé-

11 e doit être égale au n H- I e nombre trian-gulaire , puisque par la génération des nom-bres figurés le /!-+- i e nombre pyramidal

n’est autre choie que le st 4- i e nombre trian-gulaire ajouté au n e nombre pyramidal ;>

de plus le « H- I e nombre triangulaire est

« -M 1 4- «-M . rie-là on tirera une équation

qui servira à déterminer *, fi 8c c , Sc ontrouvera après tous les calculs que « n -+■

C st st ri- c n s mr —— X n n ■+* 3 st + z =

--3

n 4 ~ 2 . n - 4 - 1 . n ,

2 - Z-

, Il est à remarquer que pour

avoir *, c, Sc c y il faut comparer séparémentdans chaque membre de l‘équation les ter-mes où st le trouve élevée au même degré ;car la valeur de «, de C, Sc dc c , éyanttoujours la même, doit être indépendantede celle de n , qui est variable.

4 °. Le no mbre triangulaire del'ordre n

” + ' , Sc le pyramidal corrcípon-.

etant •

dant étant

«4-1 . n 4- 1 . »

2 . 3 -

, la simple ana-logie fait voir que le n e n o mbre fi guré d uquatrième ordre te ra --—

2*. 3. 4*

8c en général il est évident que si

est le n e nombre figuré d’un ordre quelcon-que , le 11 e nombre figuré du suivant feraEn effet, suivant cette ex-

n -f- r

, ut -f- 2 *

pression , le « -J- 1 c nombre figuré de ce der-

. , r . j*4- 2 . . . «4- m -U- r . . . «4- I

mer ordre lero:t ■ ^ ■ t 1 1 ^

dont la différence avec lé 11 e est évidemment

n 4 - m- f. I . . . . . v 4- t

• X n 4 - m — 2 •

m 4* * • ^4- 2. . n 4- r w4- 2_ ft 4- w 4- 1 . n 4 * r

Z .« »/+ l '* 4 - S 2. //*4 i

qui est le «- 1 - I e nombre figuré de 1 ordreprécédent, comme cela doit être.

Engénéral si ( A 4 • B n) (st -4- q) (ra-f- q— i ) ( n -+■ — z ) .... n , est le n eterme d’une fuite quelconque , Sc qu’o nprenne successivement la tomme des termesde cette fuite, le. n e terme de la nouvelleO o o z.