ÍOÇO t î E

substituant ces valeurs dans la derniereéquation de comparaison , a a -f» b s —

c c, ou bien s — c c ~ aa - qui par consé-

quent sera une quantité négative , si a estplus grand que c, comme nous le supposonsici. Il ne serviroit de rien de comparer lesdeux premiers termes , parce quêtant lesmêmes des deux côtés , savoir y y , cettecomparaison ne pourroit rien faire décou-vrir.

Or, les valeurs de m , n , r , p , s , ayantété ainsi trouvées, on construira facilementle lieu cherché par les moyens qui nous ontservi à la construction de la formule & dela maniéré suivante , comme B E (n) est— o (fig. j<?. ) & que les points B , E ,co-incident, ou que A E tombe fur A P,il faudra , par cette raison , tirer du pointA la droite A D ( r) parallèle à P M &= a , & la droite D G parallèle à A P ,dans laquelle vous marquerez la droite D C

( s ) =3 —-—, laquelle doit être prise au-

delà de Porigine , dans un sens opposé à D' . Ct Cl - c c

G on A P , parce que la fraction —~—

est négative par la supposition. Ensuite re-gardant D C comme diamètre,prenant desordonnées parallèles à P M, & la droiteC H (p) — b pour paramétre ; vous décri-rez une parabole , je dis qu’elle fera le lieude Inéquation donnée ; & il est en effet aiséde le prouver. Si c’eût été le quarté x x quise fût trouvé tout-d’un-coup sans inactiondans la proposée, il auroit été alors plus na-turel de se servir de la seconde formule. Onvoit au reste , qu’au moyen d’une divisionfort facile, on p eut délivrer des fractions teldes deux quartés qiston voudra; & il íaudroitcommencer par cette division , st l’onvoyoit que la comparaison des termes endut devenir plus simple.

Voilà une idée de la méthode de

LIE

au lieu de demander comme tout-à-l’henn?,'d’en construire le lieu , st on se contente dademander quelle doit être l’especede la sec-,tion conique qui en est le Heu , fi c’est uneparabole , une ellipse ou même un cercle -un hyperbole équilatere, ou non équilatere,il íaudroit , pour en juger , commencer parfaire passer d’un même côté tous les termesde l’équation , de façon qu'il restât zero del’autre côté ; & cela étant fait , il pourroitfe présenter deux cas différens.

Premier cas ; supposons que le rectanglexy, ne se trouve point dans l’équation;alors i°. s’il n’y a qti’un des deux quartésy y , ou x x , le lieu fera une parabole ; z°.si les deux quartés s’y trouvent tout-à-la-fois & avec le même signe , le //casera uneellipse, & en particulier un cercle , lorsqueni l’un ni l’autre des deux quartés n’aura decoefficient , ou (si on n’avoit point réduitl’un d’eux à n’en point avoir), lorsqu’iisauront les mêmes coefficiens, & que de plussangle des coordonnées fera droit; 3 0 . si lesdeux quarrés x x , & y y se trouvent dansl’équation, & avec des signes différens, lelieu fera une hyperbole, laquelle deviendraéquilatere dans les mêmes suppositions, quij font de l’eliipse un cercle.

Second cas quand le rectangle x y fetrouve dans l’équation, alors i°. si il nes’y trouve aucun des deux quarrés , qu’il nes’y en trouve qu’un, ou encore qu’iîs s’y.trouvent tous deux avec différens signes ,ou enfin que s’y trouvant tous deux avecles mêmes signes, le quarté du coefficientcjui multiplie x y , soit plus grand que lequadruple du rectangle des coefficiens de x «& y y , dans routes ces suppositions le lieufera une hyperbole. 2 0 . Si ces deux quarréss’y trouvant toujours , & étant de mêmesigne ; si le quarté du coefficient xy , estquadruple du rectangle desle lieu fera alors

cons-

des

secti

. équations ,

lorsqu’ilsou

truffe les lieux

doivent et te des muions coniques , ou cequi est la même chose, lorsque les équationsne

sentir

boie , doivent se déterminer par une méthode semblable.

Mais vine pareille.équation étant donnée,

11 eu ja UlClllt ttjuauons

: passent pas le second degré : car on doitn tir que les lieux à l’ellipfe & à l’hyper-

plus petit quecoefficiens de x x & y y ,une ellipse. 3 0 . Enfin , si , dans la mêmesupposition , ce quarté & le quadruple durectangle dont nous venons de parler , fontégaux entr’eux , le h eu fera alors une pa-rabole.

Cette méthode de construire les lieuxgéométriques , en les rapportant aux équa-tions les plus composées qu’il soit possible ,est due à M. Craig, auteur anglois, qffi }’ a