CHAPITRE X. igi

Ces secondes formules se trouveraient en portant les deux premièresdans le triangle supplémentaire, et c’est ainsi que la plupart des auteursles ont démontrées.

Cette route est la plus courte et la plus facile pour arriver aux analo-gies de Néper ; mais il faut admettre que n est fonction de A" sans mé-lange de C' ni de C, et m fonction de C" sans mélange de C' ni de C.

Si l’on trouve quelque obscurité dans cette proposition, voici des dé-monstrations synthétiques qui ne laisseront rien à desirer.

175. Soit ABC (fig.83) un triangle sphérique quelconque. Mettez Ban plus grand angle sur la base et C au plus petit. Menez CD ensorte queHCB =B et prolongez BA en D, le triangle BCD sera isocele. MenezDM perpendiculaire sur le milieu de BC, cet arc coupera en deux partieségales l’angle au sommet D.

L’angle ÀCD = (B — C). Divisez cet angle en deux également parl’arc CE qui coupe en E la perpendiculaire DM.

FCE == i (B _ C ) ; MCE;= C + -iC == |C-KB = |(B+C).

Menez lare AE, il p av t a gera en deux l’angle DAC = ( 180 — À) etCAE = ( 9 o° — i A) =; r> AE

En effet, abaissez les trois perpendiculaires EF, EG, EH, du point Esur les trois côtés , et vous aurez

sinEF = sinCEsinECF=sinCEsini-(B_C) 1

sinEH=sinCEsinECII —sinCE sin|(B—C) } d°ùEF = EKsinEH=sinDE sinEDH=sinDE sinEDG = sin GE,

donc

donc

Eli:

sin GAE :

sin GEsin AE

GE =EF,

sin EF

GAE=FAE;

sin AE '= 90°-

: sinFAE,-fA.

176. H résulte d’abord de cette construction que si dans un trianglequelconque ACD vous divisez en deux également deux angles D et C pardes arcs qui se coupent en un point E, et que de ce point vous meniez unarc JËA au troisième angle, il le divisera en deux également.

Et réciproquement, que les trois arcs qui divisent en deux également les(rois angles du triangle , se coupent toujours en un même point E.