CHAPITRE X. 193

179. Le triangle ÀEF donne

tangAF = sinEF tangAEF = sinCE sinECF . tang AEF

= si„CE sinECF ,a„gCEM = smCE sinECF

\ sia GE/

sin | (À' —= A) tang^G

OU

tangi(C' —C)

ng’'""

— sin MEC

sin i ÇA' — A) tang A Csin r (A' + A)

C’est la troisième analogie de Néper.180. Enfin le triangle CEM donne

ou

tang 1 BC =s tang CM = tangCE cosMCE = tang CE cos'£(A' + A)tangCF , /• 4 tang^(C r + C) coSÿ(A -p A)

= FSTce cos iC A + A ) =-cKA'-A)

. cosi(A'— A) tang 1 G"

tan Sl(C + c ) =- cosÏcaT+â)- 5

C’est la quatrième de Néper.

Ainsi nous sommes parvenus à construire une formule fort simple,qui nous donne directement et à vue la première analogie de Néper,et par un calcul très-simple, les trois autres analogies.

C’est, je crois, la première fois qu’on ait démontré ces analogies parla trigonométrie sphérique toute seule.

*1 ai y ai le cette construction de plusieurs manières.

Prolongez jusqu’à 180" en A' ( fig. 84) le côte' AC oppose' au plusgrand des deux angles; prolongez jusqu’au point A' le côté BA opposéau plus petit des deux angles; menez le demi-cercle ÀEA' qui partageégalement l’angle extérieur CAD ; prenez AF=f(ÀC—AB), CF sera-ï(AC-J-AB), élevez la perpendiculaire FE et menez CE, vous aurez

sin CF ; sin AF :: tangCAE : tang ACEou sini(C'H-C)î sini(C'-— C) :: cot£A : tang ACF = tang i (A'—A):

Prenez FE' = 90°, par le point F' élevez la perpendiculaire F' E' etmenez CF' vous aurez

sinCF' : sinA'F' :: tangCA'E' : tangA'CE'ou cosi(C' 4 -C) : cos 4 (C'—C) ;; cotjA : tangA'CE'=tang|(A'-f-A),;