CHAPITRE X. 369

desquelles on tire successivement

A=ï; B =— C = D= — -• e t c .

Substituant pour A, B, C, D, etc. les valeurs qu’on vient de trouverdans l’équation

x = At -f- Bt 3 -f- Cf 5 -j- DC -f- etc. ;

et observant que f = tanga? on aura

x = tanga? — \ tang 3 x -f- ÿ tang 5 x — ~ tang 7 x + etc.

32 1. Considérons maintenant le développement des puissances des smuset des cosinus d’un arc en fonction des sinus et des cosinus des arcsmultiples.

Pour reconnaître la loi suivant laquelle procèdent les termes de la sériequi donne l’expression des puissances des sinus, nous partirons del’identité

sin x = sin x.

Si on multiplie cette identité par 2 sin a?, on aura

2 sin 1 x = 2 sin x sin x = — cos 2 x -f- 1

Multipliant cette égalité par 2 sin a?, on aura pour 4 sin 3 x une expressionqui ne contiendra que des produits de sinus par des cosinus d’arcs mul-tiples, et qui par conséquent pourront s’évaluer en sinus de Parc simpleet de ses multiples, en multipliant ce résultat par 2 sin x , on aura uneexpression de 8 sin 4 x , dans laquelle il y aura seulement des produitsdu sinus de l’arc simple par des sinus d’arcs multiples , qu’on pourraévaluer en fonction de cosinus d’arcs multiples. En général, si dans unepuissance de sin x il n’y entre que des sinus d’arcs multiples, la puissanced’un degré plus élevé d’une unité, pourra se ramener à ne contenir quedes cosinus darcs multiples, puisque les produits du sinus de l’arc simplepar des sinus darcs multiples peuvent toujours s’évaluer en cosinusdes multiples de 1 arc, et si au contraire une puissance de sin x ne ren-ferme dans son expression que des cosinus d’arcs multiples, la puissanced’un degré plus élevé d’une unité, qui pourra être considérée commerésultant de produits de sinus et de cosinus d’arcs, pourra s’évaluer eusinus d’arcs multiples seulement.

Si donc une puissance paire de sin x ne contient que des cosinus muî-tip es, la puissance paire immédiatement au-dessus, et par conséquent