CHAPITRE X. 271
pour un autre arc s, on aura
eos-ss — A cos 7 nz -h B cos (m~a)z + C 005(777—4)- + elCtsi on retranche cette seconde égalité de la première, on auracos m x-—cos m 3 = A(cos mæ —c os?nz)-i-B ( co 5(777— a)x —cos(/n—2)z}-J-etc:Si on divise les deux membres par x — z, on aura
cos m x — cos m z
X — Z
A
cosmx — cos mz
X -Z
+ B
cos (m— e)x — cos {m-
■ + etc. ;
or
ços^-cos-z __ /cos£--cnss\ r cosm - Ix+cosm -^ cosz -j_.+cos»-*a)
X - Z \ X - Z J K
= —asini(aH-z) sin K^~? ) r cos m-» Jf _j_.+cos’ n ~’z)
Q K / CC - Z> v
= —sini(^+z) {cos“—x-f- . ..} { J —+■ • •};
d’ailleurs
/x — z\ . fx + z\
sm m I-) sm 771 (-)
cos mx — cos mz _ \ 2 / \ 2 /
=—wsin'iB (-^) {1 - ^ (^-) 5 4- etc. }
Si donc, après la division effectuée, on fait z=x, on aura, aprèsavoir changé les signes,
tocos’’ 1-1 ^sin x = mk sinmx (m— 2 ) B sin (m — 2 ) x -f- etc.
Si on multiplie cette égalité par cosu;, et qu’on substitue dans lesecond membre, aux produits des cosinus de l’arc simple parles sinusdes arcs multiples, leurs expressions en fonction des cosinus de lademi-somme et de la demi-différence des arcs, on aura
77zcos m u; sinx =: mk {sm(m+i)x + sin(w — i)x}
*-)- (m —2)B {sin(7?2 — i)x -f- sin(7w — 3)x}
4* (jn —4)C (sin(m — 5)x + sin (772 — 5).r}