546 ASTRONOMIE.

et d’autant plus court que x sera plus petit; il serait le plus court pos-sible si x pouvait être o. Or c’est ce qui arrive quand le triangle TLmAse réduit à l’arc ZA, c’est-à-dire que le point m tombe en b; c’est-à-direquand la distance PA est telle , que la partie Z b du vertical ZÀ interceptéedans le petit cercle Z///Q est égale à 2a et la partie extérieure #A=90 0 .Or on conçoit que si PA augmente, l’angle opposé PZÀ s’ouvrira, et quhldiminuera au contraire si PA diminue. Dans ces variations le point mmontera ou descendra, la partie interceptée Z# variera, et elle peut va-rier depuis O jusqu’à ZQ = 2PZ. Ainsi la partie interceptée peut avoirtoutes les valeurs comprises entre o et 2 (90°—H)= 180°— 2 H et par con-séquent avoir la valeur sa. Ainsi dans le cas où Z# = 2«, etêA=90°,le plus court crépuscule aura lieu et sa demi-durée se trouvera en faisant

sin ZPB = et la durée = 4 ZPB.

cos ü 10

Voilà donc le problème résolu de la manière la plus simple et laplus directe, et nous poumons nous en tenir à cette formule quenous devons à M. Cagnoli qui l’avait trouvée par le calcul différentielaidé d’une construction ingénieuse. Les géomètres qui avaient traité cettequestion avant lui, n’avaient pas aperçu cette formule et s’étaient con-tentés de donner la déclinaison du soleil au jour du plus grand cré-puscule.

Nous allons trouver celte formule, et bien d’autres choses par uneconstruction graphique à laquelle nous appliquerons ensuite le calcul.

#

20. Sur l’arc Z#=2 æ (fîg. i 3 o) et avec le complément de latitude ZP,formez le triangle isoscèle ZPê, abaissez Parc perpendiculaire Pm; ZP#sera l’angle qui mesurera la durée.

Prolongez hvib de manière que b A = go° et menez l’arc PA qui serala distance polaire du soleil pour le jour du plus court crépuscule.

Le triangle ZPA vous donnera

cos Z /72 : cos mÀ :: cos PZ : cos PA (X. i 40ou

cos a : cos (90 °+«) :: sinll : sin D — déclinaison du soleil,ou

cos a : — sin a sinH : sin D = —. — sinH=— tang a sin II.

cos a °