Caput XIII.

149

extremam et mediam rationem secti majus segmentum AD rig. 19 .est latus decanguli, quod eidem AB circulo inscribi potest.

Junctae igitur potentiae AC radii totius et AD majoris seg-menti hujus, faciunt potentiam EF lateris quinquangularis inillo circulo (Euch XIII, 10). Quod cum sit inter duosicosaedri angulos, erit utique latus icosaedri (Euch XIII,

11 et 16). 48 )

Habemus latera omnium figurarum in proportione ad axin orbis cir-cumscripti. Sequitur ut radios circulorum qui basibus circumscribuntur in-vestigemus ex jam notis lateribus: id quod adminiculo sinuum facillimeassequetur quilibet, qui reputabit, hic exquisitissimis numeris non opus esse.Si tamen alicui placet artificiosius laborare, ei fundamenta rei ex Euclideapponam. Cum igitur tres saltem formae sint basium, triangula, quadrangula,quinquangula: in triangularibus quidem latus GII (fig. 18.) potest triplumquaesiti radii HI, per 12. saepe allegati: in quadrato latus potest duplumquaesiti radii: in quinquangulo denique GH lateris et KH sub- Fig. 20.tendentis (datarum linearum) junctae potentiae possunt quin- ^

tuplum radii HI quaesiti, per 4. decimi quarti secundum Cam-panum. Habemus radios circulorum in basibus in eademproportione, qua latera.

Subtractis igitur potentiis radiorum de potentia sinustotius, qui est quantitas semidiametri sive radii in circum-scripto, restabunt ut supra probatum est potentiae radiorum quos quae-rimus, inscriptorum scilicet orbium. Commodius tamen et facilius uteris,ut dixi, sinubus.

Sed hic neque alia quaedam praetereunda compendia, ne nimium ope-rose laboremus. Primum orbes inscripti dodecaedro et icosaedro sunt ejus-dem amplitudinis, si figurae eidem orbi inscribantur. Habent enim basesutriusque figurae eundem radium (Euch XIV, 2). Idem judicium esto decubo et octaedro. Nam axis potest triplum cubici lateris, et hoc duplumradii in basi, ergo axis potest sextuplum radii in basi: in octaedro vicis-sim axis potest duplum lateris, et hoc triplum radii in basi. Potest ergoetiam hic axis sextuplum radii. Cum ergo sit ex hypothesi idem radiuscircumscriptorum sive HO (fig. 18) sitque idem etiam radius basium HI,et HIO semper rectus: ergo etiam radius inscriptorum, tertium nempe latus01, idem erit (Euch I, 26 conv.). Quare habitis cubi et icosaedri inscri-ptis, de octaedro et dodecaedro nihil opus inquirere.

Deinde in cubo cum ipsum latus sit altitudo figurae, dimidium latusdimidia erit altitudo, nempe linea connectens centra figurae et basis. Niligitur opus inquisitione radii in basi.

Tertio octaedri et pyramidis aequalium laterum est eadem altitudo. a )Quanto majus igitur latus pyramidis, tanto altior etiam ipsa figura. Itemoctaedron et pyramis duplo majorum laterum habent eundem orbem inscri-ptum. Nam pyramis si secetur mediis lateribus, concidit in quatuor pyra-midas et octaedron unum ' duplo minorum laterum. Cumque pyramis ha-beat quatuor facies, nulli earum resecta pyramis minor adimit centrum,utpote quod sectione longe inferius est: manet igitur in octaedro exsectoorbis inscriptus, antiqua quatuor centra et per definitionem regularis corporisetiam nova quatuor ex sectione accedentia simul tangens. Sive igitur py-