148

Mysterii Cosmographici

Fig. 18.

Caput XIII.

De computandis orbibus qui corporibus inscribuntur et circumscribuntur.

Hactenus nihil dictura, nisi consentanea quaedam signa et tinota su-scepti theorematis. Transeamus modo ad uno^ti/mata orbium astronomiae etdemonstrationes geometricas: quae nisi consentiant, procul dubio omnempraecedentem operam luserimus. Primum omnium videamus, in quanta pro-portione sint orbes singulis his quinque corporibus regularibus inscripti adcircumscriptos.

Et radii quidem sive semidiametri circumscriptorum aequant semidia-gonios corporum. Is’ am nisi omnes anguli figurae tetigerint eandem super-ficiem, corpus regulare non erit. Bini autem anguli oppositi mutuo et cen-trum figurae semper sunt in eadem linea sive axi orbis. Excipitur unumtetraedron, quod habet singulos angulos singulis facierum centris oppositos.

Jam recta connectens centra figurae et basis est radius sive semidia-meter inscripti per ultimam lib. XV. Campani in Euclidem. 46 ) Orbisenim inscriptus tangere debet omnia centra figurae, et figurae inscriptaecum circumscriptis omnes possident idem centrum.

Quod cum ita sit, facile est videre, potentiam radii,quo circulus basi circumscribitur, auferendam de potentiaradii orbis circumscripti, ut residua sit potentia quaesitaelineae seu radii orbis inscripti. In adjuncto schemateHOM est axis circumscripti orbis, cujus, ut et figurae in-scriptae commune centrum in 0, IIGL planum unum figu-rae, quod hic sit basis, J centrum basis, HJ radius cir-cumscripti basi. Et recta ex centro orbis 0 in J cen-trum minoris circuli demissa perpendicularis erit circuloet lineae HJ. In triangulo igitur HJO angulus ad J rec-tus. Ergo HO potentia aequat potentias HJ, JO. Etpotentia HJ ablata ex HO potentia, relinquit JO poten-tiam quaesitam (E. I, 47). 46 )

Hinc apparet, ut habeatur JO in omnibus figuris, quaerendam esseprius HJ radium basis. Habetur autem et HJ radius, cognito latere figu-rae, cui circulum circumscribit. Hinc rursum, ut radius basis habeatur,quaerendum prius latus cujuslibet figurae.

Assumto igitur radio circumscripti cujuslibet in quantitate sinus totius1000 partium (sufficit nostro instituto haec radii magnitudo) potentia late-ris cubici (Euch XIII, 15) est pars tertia potentiae axis, ut si axis habet2000, latus cubi habet 1155. Lateris octaedri potentia (Eucl. XIII, 14)est dimidium potentiae axis. Lateris tetraedrici potentia est (ib. 13) sesqui-altera pars de potentia axis. 47 ) Atque hactenus usui fuit aureum illudtheorema Pythagorae de potentiis laterum in triangulo rectangulo. In ce-teris duobus corporibus altero illo geometriae thesauro opus est, de lineasecundum extremam et mediam rationem secta (Eucl. VI, 30). Kam do-decaedricum latus est major portio lateris cubici secti secundum extremamet mediam rationem (Eucl. XIII, 17. Cor.). Sic pro icosaedrico latere in-veniendo primum quaeritur radius illius circuli, qui quinque icosaedri tangitangulos, qui est AC in circulo AB (fig. 19). Ejus potentia est quinta pars de po-tentia axis (Eucl. XIII, 16. Cor.) Igitur (ib. 5 et 9) radii istius AC secundum