)

308 Literae Kepleri aliorumque mutuae

basin in justa longitudine, quia (dato quadrato) certa ejus est longitudo.Ita plane in hoc negotio, si facerem unum ex 12 aequalibus cubis, cubumcubis aequare non possum. Consideremus casum' in cossica. Jubear quae-rere 2 medias continue proportionales inter 2 et 3 extremas. Oportet ergotales duas invenire, ut, quia 2X3 =6, altera in alteram itidem faciat 6;et ut prior illarum cum 3 tantum faciat, quantum quadratum posterioris;tertio, ut haec cum 2 tantum faciat quantum quadratum prioris (xy

3

= 6; 3x = y 2 ; 2y = x 2 ; x=V12). Jubear igitur quaerere radicem cubi-cam de 12, quod fieri non potest; arithmetice non, hoc enim est in con-fesso; geometrice non, quia non, sicut ad quodlibet solidum, latus cubiaequale constitui potest. Dantur enim hic 12 cubi, quorum singulorum la-tus est 1. Si facerem ex 12 aequalibus cubis unum cubum, scio, me duasmedias proportionales facturum. Et natura ipsa dans et concedens cubumcubis 12 aequalem, admittit et 2 continue proportionales; illae tamen ne-sciuntur, quantisper nequit ab intellectu nostro fieri cubus cubis 12 aequa-lis, vel quotlibet aliis. In hoc ergo discrimen est, quod quadratum duobus velquotlibet aliis aequale facere possum, cubum cubis aequare non possum,quod jam pridem probo. Hoc interjeci, me ipsum exercens in scribendo.Restat mihi probare, ne quadrata quidem talium duarum sciri posse. Qua-drata incognitarum quaero per proportionem planorum, quia scio, quod pro-portio planorum dupla sit proportionis linearum. Ut sicut prima nota (a)ad tertiam (c), sic quadratum praecognitum (a 2 ) ad quadratum secundae (b 2 ).Et sicut b ad d sic b 2 ad c 2 . Vides igitur, eo ipso quod mediae sunt,mensuram quadratorum fieri lineas incognitas ipsas, quae quaerebantur.Nam quia duplam proportionem ejus habemus, illa aliter in 4 terminis ne-quit haberi quam ut a ad c sic a 2 ad b 2 , et ut b ad d sic b 2 ad c 2 .Et in universum: quicunque modi sunt investigandi plana in 3 terminiscontinue proportionalibus, omnes cessant et irriti sunt in 4 terminis, eoipso, quod ter non est quater. Esto enim, ut quis putet, non quadrataprima, sed secunda esse invicem ub numerus ad numerum (ut si 2 sitradix, 2.2 = 4 est quadratum primum, 4.4=16 secundum), tunc ergout prima ex proportionalibus continue ad quintam, sic quadratum pri-mae ad quadratum secundae; sed quinta est una ex mediis inter quartamet septimam [a (2), b, c, d (3), e, f, g, ergo septimus 4 */*], quia biquadra-torum ratio quadrupla est rationis laterum et, ut ratio a ad e sic a 4 ad.b 4 .Si ergo biquadrata a 4 et b 4 sunt, ut vult objectio, duo numeri, erunt a ete itidem numeri. Sed e non est numerus, quia 3 ad 4 '/2 non ut cubusad gubum; b, c non sunt numeri, cum a, d cubi non sint; ipsorum qua-drata etiam non sunt numeri, quia sic b, c ipsi fuerint numeri, cum tamend, g non sunt cubici. Soli cubi de b, c sunt numeri, quia media duo pro-portionalia inter 2 ad invicem cubos ipsa quidem numeri esse debent.Scimus ergo, quod b sit radix cubica de 12, c radix cubica de 18; id veroest nescire. Ac cum non sint plura quantitatis genera, nisi ex his mixta,concludo, nesciri debere omnia, quae sunt duarum mediarum (continue) pro-portionalium, praeter cubos, eosque nomine tantum. Latent ea in rationeinfinitatis et in ea suam habent subsistentiam; quo magis mirum, terminarialiquid a non terminato. Itaque ignoratis rationibus septanguli fugiet hocintellectum nostrum, quare et intellectum naturae (dico illam vim animo-rum et formarum, qua suorum corporum membra semper eodem modo figu-