II. §. 19. Ausgleichung der Winkel unter der Bedingung dafs u. s. w. 85

§. 19. Ausgleichung der Winkel unter der Bedingung, dafs gewisseRichtungen unverändert bleiben.

Wenn eine Function cp von mehreren unabhängigen Veränderlichenx, y, z .... ein Maximum oder Minimum werden soll, so darf sie sich nurum Gröfsen der zweiten Ordnung verändern, wenn sich x, y, z .... um

Gröfsen der ersten Ordnung ändern. Läfst man daher x, y, z _ in x-\- h,

y -f- i, z -f- k — übergehen, so wird die Veränderung der Function cpdadurch:

—h -f- —i -J- -j~k -j- .... plus Glieder höherer Ordnungen.

dx ' dy 1 dz 1 °

Die Bedingung des Maximums oder Minimums erfordert also, dafs dieGlieder der ersten Ordnung verschwinden, welche Werthe der ersten Ord-nung man auch h, i, k — beilegen möge. Es mufs also sein

*+£ + £* +

und zwar so, dafs jedes Glied in diesem Ausdruck für sich gleich Null ist.Hieraus ergeben sich also eben so viele Gleichungen, als Differentialquotien-ten oder Unbekannte vorhanden sind. •

Anders verhält es sich aber, wenn die Gröfsen x, y, z _, oder ei-

nige davon, durch Bedingungen von einander abhängig sind. Eine solcheBedingung sei z. B. die Gleichung u ~ 0, wo u eine Function von einer

oder mehreren der Unbekannten x, y, z _ sein kann. Es mag hier u eine

Function von x und y bedeuten, so erhält man aus derselben für die obenangeführten Veränderungen dieser Unbekannten:

0 =

Es sollen nun aber diese und die obige Bedingung gleichzeitig erfüllt werden,man kann daher beide vereinigen, wenn man letztere, als eine Gleichung diegleich Null ist, vorher mit einem willkührlichen Factor multiplicirt. Aufdiese Weise erhält man den Ausdruck:

dx 1 dy 'dz 1

+/’ u,- ,,

derselbe mufs aber ebenfalls, und zwar für jeden Werth von p, verschwin-

du h _J_ —i _J_

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dy