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nach der Methode der kleinsten Quadrate.

als man hinaufgestiegen ist, oder umgekehrt. Hieraus folgt also: dafs dieSumme der Höhenunterschiede zwischen den Winkelpunkten eines Dreiecksgleich' Null sein mufs.

Eben so folgt aus denselben Gründen, dafs die Summe der Höhenun-terschiede zwischen den Umfangspunkten einer jeden Figur gleich Null seinmufs. Legt man aber zwei Dreiecke, in denen die obige Bedingung erfülltist zu einem Viereck zusammen, so ist die Höhenbedingung des Umfanges indem Viereck mit erfüllt. Der Beweis von dieser Behauptung ist sehr einfach.Es sei h l der Höhenunterschied der gemeinschaftlichen Seite beider Dreieckeund:

für das lste Dreieck 0 — -j- h t -f- // 2 — h,

2te - 0 ~ — h t — f- h t — h s

so ist für den Umfang des Vierecks 0 — -f- h 2 — h, -j- h t —/< s

Hieraus ergiebt sich, wie leicht einzusehen, dals in jeder Figur, die

aus Dreiecken zusammengesetzt ist, die Höhenbedingung des Umfanges mit er-füllt ist, sobald die Höhenbedingungen der einzelnen Dreiecke erfüllt sind. DieseBetrachtung erleichtert die Formation der Bedingungsgleichungen wesentlich,weil daraus hervorgeht, dafs man bei allen Figuren, die aus Dreiecken zu-sammengesetzt sind, nur die Höhenbedingungen in den Dreiecken aufzusuchenund zu erfüllen hat, um allen andern Höhenbedingungen, welche noch in derFigur enthalten sind, zugleich mit Genüge zu leisten.

Die Bestimmung der Anzahl der Bedingungsgleichungen, welche ineiner Figur vorhanden sind, hat nach dem bisher Gesagten keine Schwierig-keit mehr: sie ist gleich der Anzahl der gemessenen Höhenunterschiede, we-niger der Zahl der Höhenunterschiede die (von einem Ausgangspunkte aus)zur Bestimmung der übrigen Punkte durchaus nothwendig sind. Oder inZeichen: Hat eine Figur n Punkte, so sind von einem Ausgangspunkte aus,n —.1 Höhendifferenzen zur Bestimmung der übrigen Punkte nothwendig;sind nun überhaupt in einer Figur, m Höhendifferenzen gemessen, so ist dieAnzahl der Bedingunsgleichungen rz: m— n -j- 1.

Für das Dreieck, ist m — 3 und n ~ 3, also giebt m—n -f- 1 eineBedingung; für das Viereck mit beiden Diagonalen ist m zz: 6, » — 4, alsom—n -j- 1 = 3 Bedingungen.

Für das Viereck um einen Mittelpunkt ist m zz: 11 — 5, also

m _ n -f- 1 gleich 4 Bedingungen u. s. w.

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