436 X. §. 105. Ausgleichung der Höhenmessungen

Nennt man II den Höhenunterschied zwischen zwei Punkten, so istnach Gleichung 6:

II — s cotg ( Z— (1— k) )

Die Abhängigkeit einer kleinen Höhenänderung von der Zenithdistance zfindet man durch Differentiation dieser Gleichung nämlich:dll-d.s cotg (1-i) )=-

Sind die Höhenunterschiede nicht grofs, so ist z nahe an 90°, undman wird ohne erheblichen Fehler Sin z 2 — 1 setzen können. Auf dieZeichen ist sorgfältig zu achten: ist z kleiner als 90° so ist dz negativ; istz grölser als 90° so ist es positiv. Oder: ist der Höhenunterschied positiv,so ist dz negativ, und ist der Höhenunterschied nagativ, so ist dz positiv.

Bezeichnet man in einer Figur die gemessenen Höhendifferenzen durch

11 1, II 2 , 11 3 ... ; die zugehörigen Entfernungen durch s, , s t/ , s m _, und die

unbekannten Verbesserungen der Zenithdistancen durch (1), (2), (3) ... soformirt man die Bedingungsgleichungen nach den gegebenen Vorschriften, in-dem man — A (1) za -J- II t und -J- '^-(2) zu — II z u. s. w. hinzufügt. z. B.

In einem Dreieck ABC sei der Höhenunterschied zwischen AB — -j- II izwischen BC — -f- II 2 und zwischen CA — — // 3 ; und s,, s„, s m dieentsprechenden Entfernungen, so findet man die ßedingungsgleichung:

o = + // t -f y/ 2 —//

(I) 0) (0

und wenn man den bekannten Werth von -j- II ± -j- II z II — n setzt:

0 ~ a — ,V/ * ^ s " ^ I s w (3)

w 0) ' 0)

Aul ganz ähnliche Vfeise bildet man alle übrigen Bedingungsgleichungeu.

Wenn sämmtliche Bedingungsgleichungen formirt sind, so werden siemit den willkürlichen Faktoren I, 11, IU .. . multiplicirt und bis zur Bestim-mung der Verbesserungen, nach der in §. 101 gegebenen Anleitung behandelt.Die Verbesserungen (1), (2), (3)... drücken die Veränderungen "der Zenith-distancen in Secunden aus; die ihnen entsprechenden Höhenänderungen, diemit A l , A Zr A 3 ... bezeichnet werden mögen, findet man, indem man sie mitden zugehörigen in Bogentheilen von einer Secunde ausgedrückten Entfernun-gen multiplicirt. Man erhält daher wie oben A t rr i'(i); A 2 ~ Al (2) u.s.w.

Ist die Anzahl der gleich gut beobachteten Zenithdistancen ungleich,so sind die Gewichte derselben der Anzahl der Beobachtungen propor-