DES ARCS R A M P A N S. 3S

est tirée au sommet du diamètre T H parallèle à 1 autre diamètre r/L, elle toucherasEllipse en H par la 6. du 2. des Coniques d’Apollonius. De plus, la ligne A yf,estant tirée du point A dans l’Ellipse, Lc parallèle au diamètre rA, Lc coupant sau-tre diamètre T H au point de telle sorte que la ligne x^ est moyenne Har-monique entre les deux H x & X T ; la ligne A C x touchera l’Ellipso susditeau point A par la 34. du i. des Coniques. Et par la mesme proposition la li-gne B D £ la touchera en B, d’ou la ligne B S est tirée parallèle à e fi, 8 c de tellesorte, que (S est moyenne Harmonique entre les deux T £ 8 c £H.

Nous avons donc trouvé le point Y 8 c les deux lignes H T 8 c t fi pour cen-tre , 8 c diamètres de mesme conjugaison d'une Ellipse qui touchera les trois li-gnes A C, B D , 8 c EF aux points A, B & H. Ce qu il falloit faire.

11 faut maintenant faire voir, ainsi que nous savons promis cy-dessus, que lesrectangles N ^ Y 8 c í £ fi sont égaux, auffi- bien que les rectangles M P Y 8 c AP e;& que" le rectangle M Y P est égal au quarré Y-S ou Y 6-, ce que je fais première-ment pour les rectangles N^Y, t f fi en cette maniéré. Damant que le rectan-gle N Y f est égal par la construction au quarré t Y, si son oste de sun 8 c de sau-tre le mesme quarré J'Y, le rectangle N^Y restera dune part, 8 c le rectan-gle i ^ fi de sautre, qui seront par conséquent égaux.

Pour la démonstration du reste, il faut mener la ligne V X , 8c la continuer depart 8c d’autre, jusqu’à ce qu elle rencontre la ligne E1 au point 9, 8c la ligne M Nprolongée au point 8. II faut de plus continuer les lignes H B 8c H A qui rencon-trent la mesme M N prolongée en 7 8c 6,8c faire I ô égale a IF, puis raisonner encette sorte. Damant que A V est égal àVH 8c BXàXH,la ligne A H seraá V H comme B H à X H; Et partant V X sera parallèle a A B; & I H sera à H 9,comme B H à HX. Mais B H est double de H X, donc IH fera aussi doublede H 9. Derechef EH estant à H F comme E I à I F, en composant, permutant,8 c changeant E 6 sera à E F comme IF est à H F. De plus, E H estant à H F com-me E I à I F, en permutant 8c changeant E I fera a EH comme 1 F à H F ; Etpartant EI est à E H comme E 6 à E F, 8c par conversion de raison EI soraà I H comme E6 à F 6, 8 c en divisant EH a IH comme E F a 6 F ; Et partantEH à la moitié de I H, c’est à dire , H 9, comme E F à la moitié de 6F, c esta dire, I F ,, 8c en composant E 9 à H 9 comme EI à I F. Ma is comme E I est á I F,ainsi EH à H F ; Donc E 9 íèra à H 9 comme E H est à EI F, Sc en permutant,8c par conversion de raison, E9 sera à H 9 comme H 9 à F9.

Or parce que dans les triangles semblables EV9, Y V 8 comme E 9 est à H 9,ainsi Y 8 est à 8 6, 8c dans les" triangles semblables H X 9 , 7X8, comme H 9 està F9, ainsi 7 8 est a Y 8; il s’eníuit que la ligne 7 8 est à Y 8 comme Y8 à 8 6 , 8 cen la mesme raison que E 9 a H 9 ; Mais comme 7 8 est á Y 8, ainsi 7 Y est à Y 6 ,8 c comme E 9 à H 9, ainsi EH ou son égale 2Y est à H F, ou son égale Y R; ils'ensuit donc que 7 Y est à Y 6 comme 2 Y est à YR,& partant que le rectangledes extrêmes 7 Y R est égal au rectangle des moyennes 6 Y 2.

Maintenant, parce que (Y est à H Y comme H Y est à S Y, par conversion deraison £Y sera à £H comme Y H à H S- Mais comme £Y est à £H, ainsi M Yest à H F ou à son égale Y R ; 8 c comme Y H est à H S, ainsi 7 Y est à B S ou âson égale Y P ; Donc M Y fera à Y R comme 7 Y à Y P; 8 c partant le rectangledes extrêmes M Y P est égal au rectangle des moyennes 7 Y R.

De plus, parce que % Y est à H Y comme H Y à Y-j; & que x Y est à H Ycomme est à NE,& YNàN2; Il s’ensuit que Y N est à N 2 comme H YestàY|,& YNà Y2 comme H Y à H Mais H Y est à H\f/ comme 6 Y està A{,ouà son égale ^ Y ; Donc Y N fera à Y 2 comme 6 Y est à ^ Y, 8 c le re-ctangle des extrêmes N Y fera égal au rectangle des moyennes 6 Y 2.

Et par conséquent le rectangle M Y P sera au rectangle 7 YR comme le rectan-gle N Y «f* au rectangle 6 Y 2, 8 í en permutant M Y P sera à N Y^ comme 7 Y R