Z6 SECOND PROBLEME

a 6 Y 2. Mais il a este démontré cy-dessus que les rectangles 7 Y R & 6 Y 2 fontégaux ; Partant les rectangles MYP 8£ N Y «T feront austì égaux. Mais le quartéí Y , ou ion égal AY est egal au rectangle N Y «T par la construction ; il fera doncaustì égal au rectangle MYP.

Et si Ton oste de l’un de Fautre le commun quarté de Y P, il restera le re-ctangle M P Y égal au rectangle « P A. Qui est tout ce que nous devions démon-trer.

Le cercle pourroit aussi servir à la solution de ce Probleme, si les deux lignes A Gôc B G estant égales aussi-bien que les trois AY, B Y, & H Y, celles-cy se trou-voient aussi perpendiculaires aux lignes A C, BD,&EF, chacune à la sienne.

PROBLEME NEUVIEME.

Enfin, si les pieds droits A C & B D ne font point parallels, mais en surplombilTii. ( comme aux 2. 3. 8c 4. Figures de la 4. Planche) en forte qu'estant prolongez, ils feiv.de U rencontrent au dessus, comme en G de la part de A 8c B; & si la ligne EF, qui dé-iv.PUn- termine la hauteur de l’arc à décrire , n est point parallèle à la rampe A B , maisc ' e ‘ que Fune & Fautre estant prolongées, fe rencontrent, comme en I.

II y a en cette proposition trois Cas à considérer, chacun defquels demande unesection Conique particulière pour fa solution-, car ou la raison de la ligne EI à IFfera la mefme que celle de GF à F B, ou elle fera moindre, ou elle fera plusgrande. Au premier Cas ( comme en la 2. Figure ) il faut une Parabole. Au secondCas (comme en la 3. Figure) il faut une Ellipse. Au troisième Cas (comme en la 4.Figure ) il faut vne Flyperbole. Et pour les traiter avec ordre.

Premier Cas du neuvième Probleme.

S o it ( comme en la 2. Figure de la 4. Planche) la ligne E I à la ligne I F, commela ligne GF à F B -, 8c après avoir coupé A B en deux également en Z, & menéU iv. G Z, qui divise E F en P, il faut du point F prendre F H égale à E P.

Planche. je dis que la section qui touchera les deux lignes A C , B D aux pointsA 8c B, & la ligne E F, fera une Parabole j Sc que le point FI fera celuy où elletouchera la ligne EF-, en forte que si nous coupons la ligne G Z en deux égale-ment en O, 5c qu aux deux lignes O Z & A Z nous fassions une troisième pro-portionnelle Géométrique O R, que nous menions du point O parallèle à A B, laligne O Z en fera le diamètre fous Fangle G Z A, 8c OR fera son paramétré oudiamètre contigu. Pour la démonstration, il faut mener les lignes E L, HK,& F Mparallèles à G Z , puis tirer les lignes A FI Q^8c B H , qui rencontrent les li-gnes E L Se M F prolongées en V, X, 8e Se mener V X 8e F K.

Dautant que FI F est égale á E P,8e que E L, FI K, 8e F M sont parallèles à GZ,les deux lignes L Z 8e K M feront austì égales -, 8e par conséquent les deux L K8e Z M, auffi-bien que les deux E FI 8e P F. Et parce que EI est à IF, ainsi que G Fa F B -, 8e que comme E I est à I F, ainsi ( dans le triangle EIL) EL est à F M-,8e que comme GF à F B, ainsi (dans le triangle GBZ) la ligne Z M à MB: II s’en-fuit que EL fera à F M, comme Z M à M B. Mais la raison de E L a F M estcomposée des raisons de EL à AL, (c’est à dire, GZà A Z) AL à MB, 8cM B à F M (c'est à dire, B Z ou son égale A Z à G Z: ) Donc la raison de Z Mà M B sera austì égale à la composée des raisons de G Z à A Z, A L à M B, &A Z à G Z; c’est à dire (parce que les deux raisons de GZà AZ,8eAZàGZfe détruisent) égale à la raison de A L à M B : Et par conséquent la ligne A Lfera égale à Z M, c’est à dire, à L K -, mais comme A L est à L K, ainsi AV està V FI : Donc A V fera austì égale à V H.

Maintenant, puis que A L est égale à L K, Sc L Z à K M ; AZ ou BZ seraégale à L M j & ostant le commun Z M , les deux Z L & M B feront égales;

mais