DES ARCS RAMPANS. 37

mais Z L est égale à K M : Donc les deux MB & KM seront auffi égales : Etpartant dans le triangle H B K la ligne H X fera égale à X B, 6c H S à SK ; &les deux triangles H K A, QJK V feront semblables -, 6c H R fera à A K, commeQX a VX; 6c en permutant H K sera à Q^X comme A K à V X, ou à son égaleL M. Ce qu’il faut remarquer.

De plus, G F estant à F B comme Z M à M B, c’est à dire, comme L K àK M, ou comme EH à H F, 6c EI estant à I F comme G F à F B, il s’eníùitque EH est a HF comme E I à I F : Et partant la ligne I H est moyenne Har-monique entre lés deux E I 6c I F.

Davantage , comme G F est à F B, ainsi Z M à MB, c’est à dire, L K à K M;ou prenant leurs doubles, comme A K à K B, il s’enfuit que A K est à K B, commeG F à F B; 6c partant que la ligne F K est parallèle à A E; 6c par conséquent lestriangles G P E, K H F feront semblables, 6c leurs bases P E, H F estant égales,les costez G P 6c H K feront égaux, aussi-bien que EG 6c FK; 6c AE sera àE G, comme à K F, c est à dire, comme EI àlF, ou GF à FB,ou EHàH F.

Voilà donc trois lignes A G, B G, 6c E F, divisées en raisons égales aux pointsE, F, 6c H: elles seront donc par la 41. du 3. des Coniques d’Apollonius, troiscontingentes aux points A , B, 6c H, dune mefme Parabole.

Or pour faire voir que la Parabole, dont les diamètres sont O Z 6c O R , estcelle que ces trois lignes touchent aux trois points susdits, je raisonne en cette sorte.La ligne O R estant troisième proportionnelle Géométrique aux deux O Z 6c A Z, lerectangle Z O R sera égal au quarté A Z ou B Z; &C partant les deux points A 6c Bseront dans la Parabole.

Mais pour montrer que le point H y est aussi, je fais ainsi. La ligne F K estantparallèle à A E dans le triangle AIE, AI sera à I K, comme E I à IF, c’està dire, dans le triangle E I L , comme L I à I M; 6c en divisant 6c permutant A Ksera à L M, comme KI à I M , c’est à dire, ( dans le triangle H I R ) comme R Hest à F M. Mais nous avons fait remarquer cy-dessus que H K estoit à Q^X,comme la mefme A R à L M : Donc la ligne H R aura mefme raison aux deuxlignes Q_X 6c F M ; 6c partant elles seront égales : 6c ostant F X commun, lesrestes QJF 6c X M, ou V L , feront égaux ; 6c par conséquent E V aura mefmeraison à QJ 6c à V L. Mais E V est"à QJ, comme E H est à H F , ou L R àKM,ou AL à LZ: Donc E V fera à V L, comme A L à L Z - 6c en changeant

6c composant V L sera à E L, comme L Z à A Z, ou comme le rectangle Z L Aau rectangle Z A L (en prenant A L pour commune hauteur. ) Mais E L est àG Z, comme A L à A Z, c’est à dire, ( en prenant A Z pour commune hauteur )comme le rectangle Z A L au quarté A Z : Donc par égalité V L sera à G Z, com-me le rectangle Z L A, ou son égal L R M, au quarté A Z ou B Z , 6C le doublede V L, c’est à dire, H R à G Z, comme le double du rectangle L R M, c’est àdire, L R B au quarté B Z; 6c H R à la moitié de G Z, c’est à dire, O Z, commele double du rectangle L R B, c’est à dire, le rectangle A R B au quarté B Z. MaisH R est parallèle au diamètre O Z: Donc le point H sera dans la Parabole, dontles diamètres sont O Z 6c O R.

II est notoire que le sommet estant O , où G Z est divisée en deux également,les deux lignes A G 6c B G toucheront la mefme Parabole en A 6c B. Et pourdémontrer qu’elle touchera aussi E F en H, je raisonne en cette maniéré, aprésavoir tiré la ligne H N parallèle à A B , laquelle fera par conséquent ordonnée audiamètre O Z. Parce que F K est parallèle à A E, EIest àlF comme AI à I R, 6ccomme EH à H F, c’est à dire, LR ou ZM à KM ; AI sera donc à I Rcomme Z M à R M ; 6c en divisant A R à I R comme R Z à K M : Et partantle rectangle des moyennes I R Z sera égal au rectangle des extrêmes A R M ; 6cdeux fois le rectangle IR Z égal au rectangle A R B , 6c ajoustant le quarté Z R,