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Zur Theorie

men die allgemeine Gleichung des zweiten Grades annehmen kann, vermittelst jener zwie-fachen Coordinaten-Veränderung.

Statt der obigen allgemeinen Gleichung des zweiten Grades wollen wir in der Folgeuns vorzugsweise der folgenden bedienen:

y 2 -f-2«xy-4-/?x 2 +2yy-f-2<5x-f“f — o,

die, indem wir den Coefficienten des ersten Gliedes durch Division fortgeschafft haben,nichts von ihrer Allgemeinheit verloren hat, und in der 2«, ß, 2y, 2$ und s wiederum

unbestimmte Coefficienten sind, wo der Factor 2, wo er vorkommt, nur der Symmetriein den folgenden Entwicklungen wegen, hinzugefügt worden ist.

§• 1-

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Verlegung des Anfangs -Punctes der Coordinaten. Discussion aller einzelnenFälle, welche die allgemeine Gleichung umfafst.

228. Sey also:

die allgemeine Gleichung der Linien zweiter Ordnung auf irgend ein beliebiges, rechtwink-liges oder schiefwinkliges, Coordinaten-System bezogen. Sind alsdann y' und x' dieCoordinaten eines Punctes, über dessen Lage wir einstweilen noch keine nähere Bestim-

mung machen, so brauchen wir blofs in die Gleichung (l)

y-f-y' Statt y, und x+x' statt x,

zu substituiren, nm die bezügliche Curve auf ein neues Coordinaten-System zu beziehen,dessen Axen den frühem parallel bleiben, dessen Aniangs-Punct aber in den Punct (y',x)verlegt ist. Auf diese Weise erhalten wir:

y z -f-2«xy-f-/?x 2 -f-2(y'-f-«x'-f-j')y ■+• 2 (ay'+ßx'+ä)x

“Hy’ 5 “J-2 ax'y'-f-ßx 2 -f-2 y y ’-f-2 dx'-f-f) == o. ( 2 )

Wir bemerken zuvörderst, dafs diese Aufforderung sich nur auf die Coefficienten vony und x und auf das constante Glied erstreckt. Durch eine schickliche Annahme von y'und x , d. h. indem wir die Lage des neuen Anfangs-Punctes gehörig wählen, könnenwir im Allgemeinen jene beiden Coefficienten, oder auch jeden einzelnen derselben und dasconstante Glied verschwinden lassen.

229* Damit die Coefficienten von y und x in der umgeformten Gleichung verschwin-den, müssen wir y und s so nehmen, dafs die beiden Gleichungen:

y'-f-ax'-f ~y — 0,ay-\rßx+S — 0,

(3)

befriedigt werden. Da diese beiden Gleichungen linear sind, so gibt die Elimination nie-mals imaginäre Werthe für y und x'5 diese Wierthe können aber unendlich und unbe-

stimmt werden. Eliminiren wir wirklich, so kommt:

Weil wir den Coefficienten des ersten Gliedes der allgemeinen Gleichung des zweitenGrades auf Eins gebracht haben, ist nicht sogleich ersichtlich, welche Form die letztenAusdrücke annehmen, wenn jenes erste Glied fehlt. Für diesen Fall ist die allgemeine