PREMIER!-'. PARTIE.

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mômes résultats. Et effectivement la tangente, la sécante, etc.,doivent avoir les mêmes valeurs pour l’arc 3G0 ’-(-« que pour l’arc a.

Supposons les arcs négatifs. Puisque siu (—a) =—sin a, et quecos (—a) = cos a (11), il s’ensuit qu’en changeant le signe de l’arc,les valeurs données par les formules, pour la tangente, la cotan-gente cl la cosécanle, prennent des signes contraires sans changerde grandeur, taudis que la sécante reste tout à fait la même. Cesrésultats sont encore conformes aux indications de la ligure.

Enfin, à parler rigoureusement, on pourrait craindre que lesformules ne fussent pas vraies pour les arcs 0, 90”, 180% etc.,parce qu’alors les triangles cessent d’exister. Mais il est facile devoir qu’elles donnent encore des résultats qui conviennent à cesarcs. Par exemple, si on fait a =90°, on aura sin 90“ — r,cos 90° = 0 ; par suite tang 90° = oo, séc 90° = c», cot 90° = 0 ;coséc90 u = r. Ces valeurs sont en effet celles qu’on doit avoir.Remarquez que la valeur tang 90° = oo doit être prise avec lesigne ambigu ± ; car elle est à la fois limite des tangentes posi-tives qu’on obtient en faisant croître l’arc de 0 à 90% et limite destangentes négatives qu’on obtient en le faisant décroître de 180“ à90°. La même observation s’applique aux autres lignes trigono-mélriques susceptibles de devenir infinies.

Concluons maintenant que la généralité des cinq formules n’estlimitée par aucune restriction.

23. 11 eût suffi de démontrer la généralité des formules [2] et[3] pour en conclure celle de [4] et [5] : car celles-ci peuvent setirer des premières en y mettant 90"— a au lieu de a. En géné-ral, toutes les fois qu’une relation entre les lignes trigonométriquesaura été démontrée pour toutes les valeurs possibles des arcs,il sera permis d’y remplacer ces arcs par leurs compléments, ce quirevient évidemment à changer les sinus, tangentes, sécantes, encosinus, colangenles, cosécantes; et réciproquement.

24. Les cinq relations [1].... [5] peuvent servir à en trouverd’autres. JNous allons faire connaître les plus remarquables.

1" En multipliant entre elles les formules [2] et [4], il vient

[6] tangcota = r .

C’est-à-dire que le rayon est moyen proportionnel entre la tan-gente et la cotangente. Cette conséquence se déduirait immédiate-ment des triangles semblables OTA, OSE.