TRIGONOMÉTRIK. 15

21. Pour présenter une application de ces formules, prenons lavaleur sin 30"= \r trouvée n° 4. Au moyen de cette valeur, il serafacile de calculer d’abord le cosinus de 30", et ensuite la tangente,la sécante, etc. En remarquant que le complément de 30" est 60",on forme le tableau suivant :

sin 30"= cos 60°=tang 30" = cot 60° =

2 ’iV 33

7

séc30°=coséc 60"

2/-1/3

cos 30°= sin 60"=

r|/3

2 ’

cot 30°= tang 60"= r 1/3,coséc 30°=séc 60"=2r.

22. Quoique déduites d’une figure, dans laquelle l’arc a est<C 90", les formules du n° 20 n’en sont pas moins générales.Cela serait évident si l’on ne considérait que les valeurs abso-lues des lignes trigonométriques ; car ces lignes forment toujoursdes triangles rectangles et semblables, dont on peut tirer lesmêmes résultats que dans le n° cité. En ayant égard aux signes deslignes, il est clair d’abord que la formule [1] ne cesse pas d’avoirlieu , puisqu’elle ne contient que des carrés ; il reste donc à exa-miner si les autres formules font toujours prendre à la tangente,à la sécante, etc. les signes qui conviennent à leurs positions.

Dans le premier quadrant, c’est-à-dire de 0 à 90", le sinus et lecosinus étant positifs, les quatre formules donnent des valeurspositives, ainsi que cela doit être. Dans le second quadrant, lesinus est positif, le cosinus est négatif, et par suite les valeurs de latangente, de la sécante et de la cotangcnte sont négatives, tandisque celle de la cosécante reste positive : or la figure montre qu’eneffet ce sont là les signes que doivent avoir ces lignes. Dans le troi-sième quadrant, le sinus et lecosinus sont négatifs : donc les valeurs[2] et [4] sont positives, tandis que les valeurs [3] et [5] sont néga-tives ; et c’est ce qui doit avoir lieu d’après la position que pren-nent alors les quatre lignes. Dans le quatrième quadrant, le sinusétant négatif, et le cosinus positif, les valeurs [2], [4], [5] sontnégatives, et la valeur [3] est positive : c’est encore ce qui doitêtre, d’après la figure.

Au-delà de 360", le sinus et le cosinus reprennent, pour un arcquelconque 360° -f- a , les mêmes grandeurs et les mêmes signesque pour l’arc a; les quatre formules donneut donc aussi les