GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 253

l'équation d’une corde quelconque FG (fig. 135). En la combinantavec celle de l’ellipse,

ay-\- b'x'^a’b 1 ,

on trouve facilement les coordonnées des points F et G, où ladroite rencontre la courbe. L’élimination dey donne

2 rJSÆ 5

X -f-

à 3 +AT

0,

équation dont les racines sont précisément les abscisses AH et AKdes points F et G. Il est facile de voir que l’abscisse AP du milieu I,de FG, est égale à i(AlI-f-AK); donc, si on nomme x cetteabscisse AP, et x\ x", celles des points F et G, on aura

Or, on sait que dans l’équation générale du second degré,x* -\-px-\-q=d, la somme des deux racines est égale au coelli^cient du second terme, pris avec un signe contraire; donc

x 1 -{-x"

b'-{-a* S 1 ’

et par conséquent, pour l’abscisse AP, on a

5?a*

•r =—77-—— •

Si on met cette valeur dans l’équation de la corde, on trouve,pour l’ordonnée correspondante IP,

r Ù'+AT’

Actuellement, si, afin d’éliminer|3, on divise ces deux valeursl’une par l’autre, il viendra

x

a‘S ’

OU y :

— V

a à

Cette équation contient encore û; par conséquent elle représentele lieu géométrique desmilieux de toutes les cordes pour ^lesquelles Sest constant, c’est-à-dire, de toutes les cordes parallèles à unemême direction. Cette équation est donc celle d’un diamètre ; etcomme la droite qu’elle représente passe à l’origine, qui est ici lecentre de la courbe, on conclut que tous les diamètres de Vellipsepassent par le centre.