252 DEUXIÈME PARTIE.
on tire FK et KF, puis on abaisse TR perpendiculaire sur KF.Cette perpendiculaire est tangente à l’ellipse, et le point M, où ellerencontre FK, est le point de tangence.
En effet, par construction, TK=TF ; donc RT est perpendicu-laire sur le milieu de KF ; donc MK=MF, et par suite FM+ MF— 2a, ce qui prouve déjà que le point JYI est sur l’ellipse. De plus,l’angle FMT«TMK = RMF ; donc TM est tangente.
334. Comme deux cercles peuvent se couper en deux points,il peut aussi y avoir deux tangentes. C’est ce qui arrive quandle point T est hors de l’ellipse, car les conditions relatives à l’in-tersection des cercles sont alors remplies. En effet, si on jointFT, le triangle FTF donne F'T < F'F-f FT , et à fortioriFT<2«-f-FT; donc 1°la distance des centres est plus petiteque la somme des rayons. Ensuite, le même triangle donneFT< FT-f- FT, et a fortiori FT<2a-f FT. D’ailleurs, puisquele point T est extérieur à l’ellipse, on a 2a <i F'T -j- FT (310) ;donc 2° chaque rayon est moindre que la distance des centres ,augmentée de l’autre rayon. Donc les cercles se coupent, et il y adeux tangentes.
Si le point T était sur l’ellipse (fig. 133), le plus grand rayon 2aserait égal à la distance des centres FT, augmentée du plus petitrayon TF; doue les cercles se toucheraient intérieurement, et iln’y aurait qu’une seule tangente.
Si le point T était intérieur (fig. 134), le plus grand rayon 2aserait plus grand que la distance des centres FT augmentée dol’autre rayon TF, donc l’un des cercles serait tout entier intérieurà l’autre, »t il n’y aurait plus de tangente.
Des diamètres.
335. Il a déjà été dit que, dans les lignes du second ordre, lediamètre est une droite qui divise en parties égales toutes lescordes parallèles à une même direction. Il est facile d’appliquer lecalcul à cette définition et d’en déduire l’équation d’un diamètrequelconque. 11 suffit pour cela de prendre l’équation générale d’unecorde, et de chercher le lieu géométrique qui contient toujours lemilieu de celte corde, quand on suppose qu’elle se meut parallè-lement à elle-même dans le plan de la courbe.
Soit donc