276 DEUXIÈME PARTIE.

et, comme oa trouve facilement

_ 3 3

| /a'+b'= — , AF = —, AFxAH=a*,

m—n m—n

on conclut que le point F est un (les foyers de l’hyperbole et queHL est une de scs directrices.

373. Le lecteur transportera sans peine à l’hyperbole les re-marques faites sur les foyers de l’ellipse, n os 317 et 318.

De la tangente el de la normale.

374. L’équation de l'hyperbole étant

[h] a 2 y 2 —b 2 x 2 = — a'b 2 ,

pour obtenir celle de la tangente, les calculs sont les mêmes quedansl’ellipse, avec cette différence que b 2 sera partout remplacépar — b \ Les résultats seront donc aussi les mêmes, à celte modi-fication près. Ainsi, xy' étant les coordonnées du point de con-tact, et a étant la tangente trigonométrique de l’angle formé, avecl’axe des x , par la tangente à la courbe, on aura (319)

_ b 2 x'a'ÿ ’

et l’équation de la tangente sera

|y] à 1 y'y — Ifx'x— — a 2 b 2 .

• ' «

375. Pour montrer à posteriori que tous les points de la tan-gente, excepté le point de tangence, sont hors de l’hyperbole, ilfaut, d’après le n° 3G4, prouver que, pour tous ces points, laquantité a 2 y 2 — b 2 x 2 -j- a 2 b 2 est positive. Or, tirons de l’équation dela tangente la valeur dey,

b 5 ( x’x — a 2 )

a 1 i j ta y

substituons-la à la place de y dans la quantité a 2 y 2 — b 2 x 2 a 2 b 2 ,réduisons tout au même dénominateur, mettons au lieu de a 2 y' 2sa valeur b 2 x' 2 — a 1 b 2 tirée de l’équation de l’hyperbole, puis effec-tuons divers calculs faciles à apercevoir : il vient

. a 2 y 2 — b 2 x 2 -\-a 2 b 2 = hi[X ' X ~ a -- -iY+a’ft’

' ay

=//(.r'.r— a 2 ) 2 -\- (a 2 b 2 — b 2 x 2 ) (b 2 x' 2 — a 2 b ’)ay

b !t {x — x') 2_ _ .