GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 275

d’un point quelconque de la courbe on abaisse MR perpendicu-laire àIIL, et si on tire MF, on auraex

- a

MF a ex — <z c

MR x—cl ex—cd a ’

donc ce rapport sera constant, et égal à celui de c à a , si onchoisit le point II d’après la condition cd=à 1 . On arrive à lamême conclusion sur quelque branche que le point M soit situé.Ainsi, comme dans l’ellipse, le demi-axe AB doit être moyen pro-portionnel entre AF et AI1 .

Après avoir déterminé AH, on peut, du côté AF', prendreAH' = AII, élever la perpendiculaire H'L', et reconnaître facile-ment que pour chaque point de l’hyperbole les distances MF' etMR' sont encore entre elles :: c : a.

Donc, en nommant directrices les deux droites HL et H'L', onpourra dire, comme pour l’ellipse, q uc les distantes de chaquepointcle F hyperbole à Valides foyers et à la directrice voisine decefoyer,sont entre elles comme l’intervalle des foyers est àl' axe transverse.

On peut passer de cette propriété à la recherche du lieu géomé-trique défini par l’énoncé du n" 316 ; et en faisant mf>n dans lesrésultats, on a vu qu’on doit avoir une hyperbole. Si on supposeque F soit le point donné et JIL la droite donnée, si on divise,comme dans le numéro cité, la distance FH de manière qu’on aitFB : BH :: m : n, si l’on prend m — FB, 7i=BII, et enfin si l’onchoisit pour axes de coordonnées la ligne BF et la perpendiculaireBY élevée au point B, on aura encore l’équation

nf 1 - j-(« 5 —m 2 ) x 2 — 2 mn jc = 0.

Mais ici le multiplicateur de x 2 est négatif puisqu’on donne m f> n ;et on trouvera que la ligne des abscisses est coupée par la courbedu côté Bx' à la distance

I)C=Ü=Ü.

m—n

L’origine étant transportée au milieu A de BC, l’équation de

l’hyperbole devient

, „ , , , nViV (m-\-n)

liy — (m —n ) x — - - —

m — n

les valeurs des demi-axes sont

a —

mn

m — n ’

= m