298 DEUXIÈME PARTIE.

La loi selon laquelle les points G', C",... ont été espacés esttout à fait arbitraire ; ainsi on peut prendre les abscisses 1,a:',a.",...en progression géométrique. Le premier terme étant 1, la raisonsera x\ et on aura x"—x'% x" = ,r' 3 , etc. ; de sorte que si n estle nombre des intervalles entre C et P, la dernière abscisse serax=x' n . Alors tous les rectangles sont égaux à x — 1.

Si on ajoute d’abord les deux premiers rectangles, ensuite lestrois premiers, puis les quatre premiers , et toujours de même, lessommes seront 2 {x' —1), 3 [x — 1), h\x' —1), etc. Donclesaircsrectangulaires, commençant à l’abscisse AC = 1, et terminées auxabscisses successives, pourront se représenter comme il suit :

abscisses 1, x\ x'\ x' 3 ,. /■ ou æ,

aires 0, x' — 1, 2(.r'— 1), 3(x' — l),...?i(x' — 1).

On met zéro pour la première aire, parce que l’aire compriseentre BC et BG lui-même est nulle. —

On voit que les abscisses forment une progression géométriquequi commence par l’unité, et les aires une progression arithmé-tique qui commence par zéro ; donc les aires rectangulaires, com-prises entre BG et les autres ordonnées successives, sont les loga-rithmes des abscisses auxquelles ces ordonnées correspondent.

Cette conséquence est indépendante du nombre des divisionsfaites sur CP, et doit par conséquent s’appliquer encore au cas oùleur nombre devient infini, ou, en d’autres termes, au cas où, aulieu de passer du point C au point P par un nombre infini d’abscissesen progression géométrique, on passerait successivement partoutes les abscisses intermédiaires. Mais al.ors les aires rectangu-laires ne sont plus autre chose que les aires hyperboliques, com-prises entre CB et les ordonnées correspondant à ces abscisses ;par conséquent on a ce beau théorème : les aires hyperboliques tellesque BCPM sont les logarithmes des abscisses correspondantes AP.

Quelle est la base du système dans lequel se prennent ces loga-rithmes? Cette question revient à déterminer un nombre tel qu’enl’élevant à la puissance indiquée par l’une de ces aires, on trouvepour résultat l’abscisse correspondante. Reprenons, dans les pro-gressions ci-dessus, les termes correspondantsx et n[x' —1),

dont le second exprime la somme des rectangles compris entre BGet MP. En faisant n—o c, cette somme doit devenir égale à l’aire