GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 299

hyperbolique BCPM; c’est pourquoi nous poserons l’équationx i 0U; ce q U i est la même chose,

n

[ 1 ] E n(f/ *- ,) =:.r,

et nous déterminerons la valeur de E qui répond à la valeur n=oc.Nous aurons alors la base cherchée.

Comme la valeur de E doit rester la même quel que soit x , nouschoisirons pour x. la valeur qui rend l’exposant de E égal à 1, lors -qu’on fai t zi=oc. Or, l’équation

[ 2 ]

donne

n{\/x —1) =1

Si on développe la puissance, il vient

2/1 \ 3

n n —1 /1

1 2

~ V2 '■ïnj ^ V2 277/^3 'in J

+a-=) (î-5)(-:-ê)+

et, en supposant 77 = oc, on trouve

I l 1

x=2-\ -1---i- --r+ctc.

' 2‘ 2.3 ' 2.3.4 '

On démontre en algèbre que la valeur exacte de cette série nu-mérique est irrationnelle. Mais si on prend dans la série un nombresuffisant de termes, on peut obtenir cette valeur avec une aussigrande approximation qu’on veut. En la désignant, selon l’usage,par e, on trouve

e — 2, 718 281 828 459 045. ..

Maintenant, pour l’indéterminée x, prenons cette valeur par-ticulière , et l’équation [1] devient

[3] E n(K «-0 — e>

Mais l’équation [ 2 ] doit se vérifier en posant x=e et 71 = oc;donc l’exposant de E, dans l’equation [3], se réduit à 1 quand