GÉOMÉTRIE ANALYTIQ0K A DEUX DIMENSIONS. 307

433. Le double de cette équation étant retranché de l’équationy' 2 —2px', on trouve y 2 —2 y y — — 2px-, et en ajoutant y depart et d’autre, il vient

b'-y) i =y-2px.

La quantité y 2 — 2 px est donc positive pour tous les points de latangente, excepté pour celui dont l’ordonnée esty ,• tous ces pointssont donc extérieurs à la parabole (421).

434. Si on fait y =0 dans la formule a——,, ou trouve

y

a = oo ; donc la tangente au sommet est perpendiculaire à l’axe. Sion fait croître j"' jusqu’à l’infini positif, a décroît jusqu’à zéro ; doncla tangente à la parabole approche sans cesse de devenir parallèleà l’axe.

435. Pour avoir (fig. 181 ) le point T où la tangente rencontrel’axe des x , il faut faire y = 0 dans l’équation de cette ligne, cequi donne

x — — x'.

Ce résultat prouve que le point T est du côté des abscisses négatives,à une distance AT égale à l’abscisse AP.

En ajoutant x 1 à AT, on a la sous-tangente

PT = 2x',-

donc, dans la parabole , la sous-langenlc est double de l'abscisse ,ce qui fournit une construction fort simple de la tangente.

436. Ayant trouvé l’équation

m y y—p y+x')

pour la tangente à parabole, au point dont les coordonnées sont xcty, il est facile de trouver celle de la tangente qui passe par unpoint extérieur. Si on représente les coordonnées de ce point par x"cty', elles devront satisfaire à l’équation de la tangente : on a donc,entre les inconnues x' cty, les deux équations

On en tire

y 2 —2px', yy=p(x'yx").

y=y±yy 2 -2px",y _ y’-px"±yi/y 2 -2px" , *

et il n’y aurait plus qu’à substituer ces valeurs dans l’équation [/].