GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 309

439. On lire de là un moyen très-simple de mener une tangenteà la parabole par un point donné. Supposons d’abord que ce pointsoit en M sur la courbe (fig. 182). On mène le rayon secteur FM,on prend FT = FM, et on mène la ligne TM, qui est la tangentedemandée.

Pour le démontrer à posteriori, on mène la directrice BL à ladistance Ali = AF = f/>, on tire MK parallèle à l’axe, et on jointKF. Par lsfnature de la courbe MK = MF (425), et il résulte de laconstruction que l’angle KMT = TMF ; donc MT est perpendicu-laire sur le milieu de KF. Maintenant, si d’un point quelconqueR, pris sur MT, on mène la droite RF au foyer, la droite RL per-pendiculaire à BL, et qu’on joigne KR, on aura RF=RK : or RKest>RL; donc RF>RL. Ainsi, chaque point de MT, exceptéle point M, est hors de la parabole (428).

440. Remarque. Le point A est le milieu deBF; donc la ligne Ay,perpendiculaire à l’axe, doit passer au point O, milieu de KF. Or,la tangente TR passe par ce point et est perpendiculaire à OF;donc, si du foyer de la parabole on abaisse des perpendiculairessur les tangentes à cette courbe., les pieds de ces perpendiculairesont pour lieu géométrique la droite menée par le sommet , perpen-diculairement à l’axe.

441. Quand la tangente doit être menée par un point T situé audehors do la parabole (fig. 183), on observe que , si M est le pointde contact cherché et MT la tangente, en menant MF au foyer etMK perpendiculaire à LL', la tangente MT doit être perpendicu-laire au milieu de FK ; donc les distances TF et TK sont égales ;donc le point K sera connu par l’intersection de la directrice avecle cercle décrit du centre T, avec FT pour rayon. Alors, en joignantKF et abaissant TR perpendiculaire sur KF, la ligne TR sera tan-gente à la courbe, et le point de contact sera l’intersection M decette tangente et de la ligue KM parallèle à l’axe.

Quand le point T est hors de la parabole, sa distance TF au foyerest plus grande que sa distance à la directrice ; donc le cercle coupela directrice en deux points K, K', et il y a deux tangentes. Quandle point T est sur la parabole, TF est égale à la distance du pointT à la directrice ; donc le cercle touche cette ligne, et il n’y a plusqu’une seule tangente. Enfin, quand le point T est intérieur à laparabole, la première distance est moindre que la seconde, lecercle n’atteint pas la directrice, et il n’y a plus de tangente.