310 DEUXIÈME PARTIE.

442. La construction précédente peut être considérée comme unemodification de celle qui a été donnée pour l’ellipse (333) : modifi-cation qui résulte de ce que la parabole est une ellipse dont legrand axe est infini.

Dans la construction donnée pour l’ellipse, on décrit une pre-mière circonférence LBL' (fig. 184) de l’un des foyers, F, avec unrayon F'B égal au grand axe AA' ; puis on en décrit une secondedu point donné T comme centre, avec un rayon égale 5>la distanceTF de ce point à l’autre foyer. Le point K étant une des intersec-tions de ces deux circonférences, on joint KF, on abaisse TR per-pendiculaire tà KF, et on mène KF' qui coupe TR en M ; TR estla tangente, et M le point de contact.

Maintenant imaginons que, l’ellipse continuant d’avoir le pointA pour sommet et le point F pour foyer, le grand axe devienneinfini : les points A' et F' s’éloigneront à l’infini ; mais comme ona AB=A'F=AF, la circonférence LBL' continue toujours derencontrer l’axe au même point B. Quand AA' est infini, cette cir-conférence devient directrice de la parabole, la ligne KF' devientparallèle à l’axe, et on retombe ainsi sur la construction qui con-vient à la parabole.

443. Le cas où les tangentes partent d’un point placé sur la di-rectrice mérite d’être remarqué. Soit T (fig. 185) un point de ladirectrice, et TM, TM', deux tangentes. Soit F le foyer de la pa-rabole , joignez TF, MF, M F, et menez MK, M'K', perpendicu-laires sur la directrice.

Le triangle TKM est égal à TFM, à cause de MT commun,de IfM=MF, et de l’angle KMT =FMT, donc l’angle TFM estdroit comme égal de l’angle K, et de plus l’angle KTM — FTM.Les triangles TM'K', TM'F, sont aussi égaux, et ils prouvent quel’angle TFM' est droit, et que l’angle K'TM'=FTM'.

Puisque les angles TFM, TFM', sont droits, il s’ensuit que laligne MFM' est droite ; et puisque les angles FTM et FTM' sontégaux aux angles KTM et K'TM', il s’ensuit que leur somme estégale à un droit : donc l’angle MTM' est droit. Ainsi on a ce théo-rème remarquable :

Les tangentes menées à la parabole, par un point de la direc-trice , font entre elles un angle droit ; et la droite qui unit lespoints de contact passe au foyer , et est perpendiculaire sur cellequi joint le foyer arec le point d'où partent les tangentes.