330 DEUXIÈME PARTIE.

II. Dès lors il est évident que ce foyer est le point de contact dela ligne x'x avec le cercle décrit entre les génératrices RR' et TT',tangentiellement à ces deux génératrices et à la droite x'x.

De plus, il est facile de voir que si, par le point de contact deRR' avec le môme cercle, on tire IL parallèle à AC, on auraAL = A11 ; donc la directrice passe au point L.

III. II n’y a pas lieu à remarquer que les paraboles données pardes plans parallèles sont semblables, par la raison que toutes lesparaboles doivent être considérées comme semblables. Cela se fondesur ce que, dans deux paraboles quelconques, les droites menéespar les sommets, et également inclinées sur les axes, sont toujoursproportionnelles. La démonstration de cette proposition est tropfacile pour qu’il soit nécessaire de la donner ici.

IV. Une parabole étant donnée, pour la placer sur un cônedonné, on construira le triangle rectangle G AH, dont on connaîtle côté AII et l’angle GAII ; puis on élevera GS perpendiculairesur AG, et on fera l’angle GAS—GAH. La surface décrite par larévolution de SA autour de SG sera celle du cône donné, et le planconduit par AII perpendiculairement au plan ASG coupera ce cônesuivant la parabole donnée. Donc toutes les paraboles peuvent êtreplacées sur un cône donné.

466. Ce qu’il faut principalement conclure de tout ce qui précède,c’est que les sections coniques sont des courbes du second ordre;et réciproquement, que les courbes du second ordre sont des sec-tions coniques.

Autre méthode.

467. Nous allons encore chercher les sections coniques par uneméthode qui fera trouver les trois courbes dans une seule équation.

Faisons (fig. 201) les mêmes constructions que dans le n° 463; et,pour avoir des données qui conviennent à toutes les positions dela ligne Ax , prenons SA = e£, SAx = a, RSV = p. Cela posé, lecercle EMF donne,y’ = EP X PF.

Dans le triangle APE, on a EP : x :: sin PAE : sinPEA. Or,

sinPAE=sina, sinPEA=cos0: doncEP = füüf.

cos [3

Menons AC parallèle à EF, et PH parallèle à SF : le trian-gle AP1I donne AII : x ;; sinAPII : sin A1IP. Or, sinAPH =

sin(*-f-25) et sinAHP = cos(5 ; donc AII= | r , s * . n fc'-t~-r l ) .

cos p