GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 329

Ce rapport demeurant constant, les hyperboles qui résultent deces sections ont leurs asymptotes parallèles. Il est facile de recon-naître aussi que la section parallèle, faite par le sommet du cône,donne deux génératrices parallèles à ces asymptotes.

IV. Pour placer une hyperbole sur un cône donné, on construitle triangle ADB, dans lequel on connaît l’angle aigu D, le côté ADégal à la distance des foyers de l’hyperbole, et le côté AB égal àl’axetransverse ; on élève ensuite SY perpendiculaire au milieu de BD.Le cône droit qui a SY pour axe et SA pour génératrice est égalau cône donné, et le plan mené par AB, perpendiculairement auplan ASV, coupe ce cône suivant l’hyperbole donnée.

Mais le côté AB étant < AD, le triangle ADB n’est possible quedans le cas où AB n’est pas moindre que la perpendiculaire AG. Or,le triangle ADG donne AG=ADsinADG = ADXcosASY; donc

AB

il faut qu’on ait AD x cos ASV ■< AB, d’où cos ASV < (Ici lesigne < n’exclut pas l’égalité).

Dans l’hyperbole donnée, le rapport — est égal au cosinus de

l’angle formé par l’asymptote axec le premier axe (411). En dési-gnantdonc cetangle par 0, on a cosASV<cos9, d’où ASV> 0 et2ASY 29. Donc une hyperbole peut se placer sur un cônedonné, pourvu que l’angle de deux génératrices opposées ne soitpas moindre que celui des asymptotes de l’hyperbole,

465. Troisième cas (fig. 200). En se servant toujours des mêmesconstructions, on a encore,y 2 =EP X PF.

Ax étant parallèle à ST, on a PF = AC = 2g\ Faisons AS =les triangles AEP, SAC, étant semblables, on a EP : x :: 2g : d,

d’où EP = . Par suite, l’équation de la courbe sera

Donc la section conique est une parabole.

4°* a

Remarques. I. Le paramètre de cette parabole est égal à -j -. Or,

si du milieude. AC, on mène GII perpendiculaire sur Ax,le triangleAGI! sera semblable à AGS, et on aura AI1 \g\‘.g'.d, d’où

All=^y; A1I est donc le quart du paramètre, et par conséquentle point H est lefoyer de la parabole.