332 DEUXIÈME PABTIB.

est rcel, et par suite a l’est aussi ; donc un cône droit étant donné ,

on peut toujours le couper suivant une ellipse donnée.

Dans l’hyperbole, n est positif et peut avoir une grandeur quel-conque. Si la valeur de cos(2a-|-2p) est négative, il est évidentqu’elle sera plus petite que l’unité, et par conséquent a sera réel.Mais il n’en est plus ainsi quand cette valeur est positive : il fautalors qu’on ait

2(l-f-H)cos a |S—1<1, d’où cosâ<\/ ———.

V 1 -f-n

Pour interpréter cette condition, remettons au lieu de n le carré

d

du rapport des axes : elle devient cos(3 <; — ■ — ■ ■. Or, si on dé-

Va' + V

signe par 0 l’angle des asymptotes avec l’axe transverse, on a aussi

cos0= — --. ; donc cosS < cos 0 ; donc S > 0 et 23 > 20.

Va?

Ainsi on retrouve cette condition que, pour placer une hyperbolesur un cône droit, il faut que , dans ce cône , l’angle au sommetsoit au moins égal à celui des asymptotes.

Dans la parabole, n = 0,et alors l’équation [2] donne ou sina = 0ou sin(a-|-2£) = 0. La première valeur n’est pas admissible : caren la mettant dans l’équation [1] on aurait /; = 0, et l'équation [s]ne représenterait plus une parabole. On doit donc prendresin (a-j- 2J5)=0. Or, a -j- 2(3 doit étre<3G0* ; donc il faut poserou a-f-2£=0 ou o-j-2^ = 180*.

On peut négliger légalité a-|-2j3=0, car elle donne pour a unevaleur négative ; et quant à l’égalité a-\- 23 = 180°, elle montre quela ligne Ax (fig. 201) doit être parallèle à ST : c’est en effet ce quidoit arriver dans le cas de la parabole. Ainsi, toutes les parabolespeuvent se trouver en coupant un même cône droit par des plans.

Section cylindrique.

468. Soit AMB (fig. 202) la section d’un cylindre droit par unplan : si on fait les mêmes constructions que pour le cône (463),et qu’on désigne le rayon du cylindre par r, et AB par 2 a, ontrouve facilement, pour la courbe AMB ,

[T] y i = r ~{2ax—x‘).

Cette équation qui représente une ellipse, peut aussi se déduirede l’équation [S], mais il faut auparavant introduire dans celle-ci