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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

coïncidence. MS devient la tangente MT, et Mil devient perpen-diculaire sur AM j donc aussi la parallèle AS prend une position

AS AT

AT perpendiculaire sur AM. Alors se change en —- ; etcomme le triangle AMT est rectangle en A, on a

t- a AS AT

Limite de—— = —— :AM' AM

: tang AMT.

MN

Cherchons aussi ce que devient alors le rapport . Soient

k, p, les coordonnées polaires du point M, et p’+^-A

celles du point M' ; de sorte qu’on ait l’angle MAX = co, AM = p,

angle MAN = h , M'N = k. Abaissez AI perpendiculaire à MN,

_„ T _ TT , MN 2psinï/t

on aura MN = 2NI = 2p sinj/« ; donc = —-

trouver la limite de ce rapport, écrivons-le ainsi :

-. Pour

MN. sin {h hMN -Ji k ‘

Au moment où M' et M se confondent, h devient zéro, et on saitqu’alors le rapport de sin{/t à {h doit être égal à 1 (51). De plus,nommons 0 ce que devient le rapport de h à k; et nous aurons Oppour la limite cherchée. Ainsi, au moment où la sécante devienttangente, l’équation [1] donne[2] tang AMT = Op.

La position de la tangente MT ne dépend donc que de la seulequantité g, qui est la limite du rapport de l'accroissement del’angle » à celui du rayon vecteur p ; et il est clair que, dans cha-que cas particulier, cette limite se déduira de l’équation polaire dela courbe, tout à fait de la même manière que si w et p étaient descoordonnées parallèles à des axes.

Quand on emploie les coordonnées polaires, on appelle sous-tangente la distance AT comprise entre l’origine et la tangente, surla perpendiculaire élevée au rayon vecteur par l’origine. Cette di-stance se déduit du triangle rectangle AMT, et l’on aAT=p tang AMT =8 P \

474. Exemple. Prenons l’équation polaire des courbes du secondordre (458),

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