GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 347

les conditions qui doivent être remplies lorsque deux courbes dusecond ordre sont semblables et semblablement placées. Soient

[1] Ajr 3 + B^+Cjr 2 + Dy+Ex+F = 0,

[ 2 ] A'y+B''.rr+C V+D>+E'.r-f F'= 0,

les équations des deux courbes. D’après ce qui a été dit pour ob-tenir l’équation [e] du n° 481, il faudra, pour avoir toutes lescourbes semblables à la première, et semblablement situées, rem-placer dans [l].ret,ypar k(x — a) et k(y — b).

En posant, pour abréger, A" = Ai 3 , B" = BA’, G" = CP ,D" : — 2 A bP — B aP -f DA-, E" = — 2 C aP — B bP + E/c,F” = A PP 4 - B abP + (WP — DM — E ak -f F, l’équation ré-sultante pourra s’écrire ainsi

[3] A 'y -1- B "xy -f GW 4 - G"y + E".r -f F" = 0.

Pour que la seconde courbe donnée soit semblable à la premièreet semblablement placée, il faut qu’en déterminant convenablementa, b , A, on puisse rendre identiques les courbes des équations [2]et [3] ; et, pour que celte identité ait lieu, il faut qu’après avoirdivisé les deux équations, l’une par A', et l’autre par A", les termessemblables aient les mêmes coefficients. N’égalons d’abord que lescoefficients de xy et de x 1 : on aura

F_B _ _C _A _ B'_G'

A' Â ’ A' Â’ ° U A~¥~G'

Ainsi on a déjà ces conditions, que les coefficiens des ternies dusecond degré, dans les deux équations données, doivent êtreproportionnels.

Supposons donc que ce»conditions soient remplies, et qu’on aitA' = Ap, B'—Bp, G' — Cp. Déplus, faisons D '=do, E '==ep, F'—J’p.-l’équation [ 2 ], étant divisée par p, deviendra

[4] Ay -j- ïïxy -|- Ccr’ -\-dy-\-ex 0.

Pour achever de rendre les courbes identiques, il faut encoreD" d E" e F" /

poser jj, = —, et en remettant pour

A", D",E", F", leurs valeurs, ces conditions deviennent

[5] — 2 AM—lkA4-D = Æ, [G] — iCak — BM-f E^eA,

[ 7 ] A PP 4 -BMA 3 4 - CPP — DM — ErtA -f- F = JP .